24-15 圆锥侧面上最短路径问题 人教九上 一、学习目标 1.复习和巩固圆锥的侧面和侧面展开图之间的关系;
2.掌握圆锥侧面上路径最短问题的解决方案.
3.对最短距离问题或最短路径问题进行归纳,培养学生解决此类问题的能力.
二、知识回顾 1.圆锥的侧面展开图 圆锥的母线------扇形的 半径 圆锥的底面周长------扇形的 弧长 侧面展开得到的扇形的圆心角为 ?=?360o 2. 平面上,两点之间,线段最短. 三、新知讲解 1. 圆锥中的展、围、转、剖
圆锥是一种重要的几何体,与它相关的计算类型繁多,若能根据展、围、转、剖的特征学习圆锥,则这部分知识可迎刃而解.请看下面的解读.
展——“展”就是把一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开后展在一个平面上.圆锥的侧面展开图是一个扇形,此时圆锥的底面周长等于扇形的弧长,圆锥的母线长等于扇形的半径.
围——“围”就是将扇形两边的半径拼到一起,围成一个圆锥,它与“展”恰好相反.此时,扇形的圆心就成了圆锥的顶点,扇形的半径就变成了圆锥的母线,扇形的弧长变成了圆锥底面圆的周长.下图是圆锥和圆锥的侧面展开图,体现了圆锥和扇形之间的转化关系,灵活理解“展”和“围”的过程,可以帮助同学们理解圆锥的侧面积和全面积的计算公式:S圆锥侧=S扇形=
rl1·2πr·l=πrl,S圆锥全=πrl+πr2. 2
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转——圆锥可以看做是由一个直角三角形旋转得到的.旋转过程中直角三角形的一条直角边等于圆锥的高,另一条直角边等于圆锥的底面半径.如下图,右边的圆锥可以看成是Rt△ACD绕直角边AD旋转得到的,其中CD为圆锥的底面半径,斜边AC为圆锥的母线长.
剖——“剖”就是将圆锥沿着它们的轴将它们一分为二,所得到的截面(轴截面)是等腰三角形,这个等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长,底边长等于圆锥的底面直径. 2.圆锥侧面上路径最短问题
解决圆锥侧面上的“最短路径”问题,关键是将圆锥的侧面展开得到与原侧面对应的平面图形,在平面图形中寻找最短路径.
四、典例探究 扫一扫,有惊喜哦! 1.求从圆锥母线上一点出发绕圆锥侧面一周的最短路径长 【例1】(2014?佛山校级模拟)已知圆锥的底面半径为r=20cm,高h=2015cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发.在侧面上爬行一周又回到A点,求蚂蚁爬行的最短距离. 总结:解决圆锥侧面上路径最短问题的步骤: (1)展开-—将圆锥侧面(曲面)展开成扇形(平面); (2)连线-—在扇形中找到最短路径; (3)计算-—找直角三角形,利用勾股定理计算. 练1.(2012?江干区一模)如图,一只纺锤可近似看作由两个圆锥拼合而成,AB=18,AD=9,r=3. (1)求纺锤的表面积; (2)一只蚂蚁要从C点出发绕这只纺锤爬一圈回到原地,求蚂蚁爬过的最短路线长. 第2页 共17页
2.求从圆锥底面圆周上一点到对面母线或母线中点的最短路径长 【例2】如图,已知圆锥的底面半径为9cm,PA=27cm,C为PB的中点,AB为底面直径,则在圆锥 侧面上由点A到点C的最短路径是多少? 总结: 1. 解决圆锥侧面上路径最短问题的步骤: (1)展开-—将圆锥侧面(曲面)展开成扇形(平面); (2)连线-—在扇形中找到最短路径; (3)计算-—找直角三角形,利用勾股定理计算. 2. 将圆锥侧面展开后,注意圆锥侧面上的有关元素与展开后的扇形上的有关元素要对应. 练2.如图所示,已知圆锥底面半径r=10cm,母线长为40cm. (1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积. (2)若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B,请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少?为什么? 第3页 共17页
九年级数学: 第24章《圆锥侧面上最短路径问题》导学案(教师版)
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