24-15 圆锥侧面上最短路径问题 人教九上 一、学习目标 1．复习和巩固圆锥的侧面和侧面展开图之间的关系；
2．掌握圆锥侧面上路径最短问题的解决方案．
3．对最短距离问题或最短路径问题进行归纳，培养学生解决此类问题的能力．
二、知识回顾 1．圆锥的侧面展开图 圆锥的母线------扇形的 半径 圆锥的底面周长------扇形的 弧长 侧面展开得到的扇形的圆心角为 ?=?360o 2. 平面上，两点之间，线段最短. 三、新知讲解 1. 圆锥中的展、围、转、剖
圆锥是一种重要的几何体，与它相关的计算类型繁多，若能根据展、围、转、剖的特征学习圆锥，则这部分知识可迎刃而解．请看下面的解读．
展——“展”就是把一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开后展在一个平面上．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此时圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径．
围——“围”就是将扇形两边的半径拼到一起，围成一个圆锥，它与“展”恰好相反．此时，扇形的圆心就成了圆锥的顶点，扇形的半径就变成了圆锥的母线，扇形的弧长变成了圆锥底面圆的周长．下图是圆锥和圆锥的侧面展开图，体现了圆锥和扇形之间的转化关系，灵活理解“展”和“围”的过程，可以帮助同学们理解圆锥的侧面积和全面积的计算公式：S圆锥侧=S扇形=
rl1·2πr·l=πrl，S圆锥全=πrl+πr2． 2
第1页 共17页
转——圆锥可以看做是由一个直角三角形旋转得到的．旋转过程中直角三角形的一条直角边等于圆锥的高，另一条直角边等于圆锥的底面半径．如下图，右边的圆锥可以看成是Rt△ACD绕直角边AD旋转得到的，其中CD为圆锥的底面半径，斜边AC为圆锥的母线长．
剖——“剖”就是将圆锥沿着它们的轴将它们一分为二，所得到的截面（轴截面）是等腰三角形，这个等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥的底面直径． 2．圆锥侧面上路径最短问题
解决圆锥侧面上的“最短路径”问题，关键是将圆锥的侧面展开得到与原侧面对应的平面图形，在平面图形中寻找最短路径.
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！ 1．求从圆锥母线上一点出发绕圆锥侧面一周的最短路径长 【例1】（2014?佛山校级模拟）已知圆锥的底面半径为r=20cm，高h=2015cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． 总结：解决圆锥侧面上路径最短问题的步骤： （1）展开-—将圆锥侧面（曲面）展开成扇形（平面）； （2）连线-—在扇形中找到最短路径； （3）计算-—找直角三角形，利用勾股定理计算. 练1．（2012?江干区一模）如图，一只纺锤可近似看作由两个圆锥拼合而成，AB=18，AD=9，r=3． （1）求纺锤的表面积； （2）一只蚂蚁要从C点出发绕这只纺锤爬一圈回到原地，求蚂蚁爬过的最短路线长． 第2页 共17页
2．求从圆锥底面圆周上一点到对面母线或母线中点的最短路径长 【例2】如图，已知圆锥的底面半径为9cm，PA=27cm，C为PB的中点，AB为底面直径，则在圆锥 侧面上由点A到点C的最短路径是多少？ 总结： 1. 解决圆锥侧面上路径最短问题的步骤： （1）展开-—将圆锥侧面（曲面）展开成扇形（平面）； （2）连线-—在扇形中找到最短路径； （3）计算-—找直角三角形，利用勾股定理计算. 2. 将圆锥侧面展开后，注意圆锥侧面上的有关元素与展开后的扇形上的有关元素要对应. 练2．如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm． （1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积． （2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？ 第3页 共17页
九年级数学： 第24章《圆锥侧面上最短路径问题》导学案(教师版)
