利用Matlab求线性方程组的通解

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利用Ｍａｔｌａｂ求线性方程组的通解

作者：简绍勇 杜 玲 陈 勇 来源：《硅谷》2008年第24期

[摘要]讨论线性方程组解的个数及求线性方程组的通解问题是线性代数中的常见问题，介绍利用Matlab软件解决这两种问题的方法。 [关键词]Matlab 线性方程组 基础解系 通解

中图分类号：O1-0 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1220156－01 一、引言

线性代数是数学中的一个重要分支，很多理论问题和实际问题都需要借助于线性代数的理论工具来分析解决。学习线性代数有两大难点：一是概念、理论抽象，二是计算量大。由于这两个难点，初学者往往很难掌握好线性代数的知识理论。若能掌握好用于解数学问题的Matlab软件，则能轻松快捷的解决很多线性代数问题。 （一）线性方程组有关定理 对线性方程组 ，其中

定理1：（1）若 ，则线性方程组无解； （2）若 ，则线性方程组存在唯一解； （3）若 ，则线性方程组有无穷多个解。

定理2：对线性方程组的导出组 ，若 ，则导出组的基础解系含有个解向量，（1）若为导出组的基础解系，则 就是导出组的全部解，也称为通解；（2）若 是的一个特解，则就是 的通解。

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二、线性方程组有关问题的Matllab解法

（一）有关Matlab命令

讨论线性方程组解的问题的有关Matlab命令见下表

（二）利用左除命令给出线性方程组的特解

对线性方程组，在Matlab软件里常用矩阵的左除命令“A\\b”求出该线性方程组的一个解。若A为方阵，则A\\b和inv（A）*b基本一致；若A不为方阵，A\\b命令使Matlab软件自动选择适当的方法来求解。

若 无解，则命令“A\\b”将给出一个最小二乘意义上的近似解，即使 的长度达到最小。若 有无穷解，则命令“A\\b”将给出一个具有最多零元素的特解。若 有唯一解，则命令“A\\b”给出这个唯一解。

（三）讨论线性方程组是否有解的Matlab方法

对线性方程组 ，在Matlab软件里先给系数矩阵A和常数列矩阵b赋值，然后利用命令“rank（A），rank（A，b）”求出系数矩阵和增广矩阵的秩，再根据定理（1）所介绍的数学理论进行判断。

（四）求线性方程组的通解的matlab方法

为求线性方程组的通解，需先判断方程组是否有解。若有解则用“ A\\b”求出一个特解，再用命令“null(A)”求出导出组的一个基础解系得出其通解，然后利用定理（2）的结论给出的通解。

三、Matlab应用实例

解：（1）先判断线性方程组解的情况，输入并运行以下代码：a=[1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3；0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1]; b=[7 -2 23 12]' ；r1=rank（a），r2=rank（[a b]）运行结果为r1=r2=2 Xx=

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0.75300.0176 -0.0000 -0.4167 -0.7464 -0.0000 -0.30430.4533 -0.7071 -0.30430.45330.7071 0.2723 -0.1778 -0.0000 （4）线性方程组的通解为

其中 为任意常数。

参考文献：

[1]胡良剑、孙晓君，《Matlab数学实验》[M]，北京：高等教育出版社，2006.

[2]赵静、但琦，《数学建模与数学实验》（第2版）[M]，北京：高等教育出版社，2003. [3]同济大学应用数学系，《高等数学》（第5版）［M］，北京：高等教育出版社，2004.

作者简介：

简绍勇，男，江西新余人，新余高等专科学校数学与信息科学系助教。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”