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课时跟踪检测（二）集合的表示
A级——学考水平达标练 1．下列说法中正确的是( ) A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C.13∈{x|x<23} D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
解析：选A {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<23}＝{x|x<12}，13>12，所以13?{x|x<23}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A．{x|x＝1} C．{1}
B．{x|x2＝1} D．{y|(y－1)2＝0}
解析：选B {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B. 3．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1<4的解集为{x<5} C．{全体整数} D．实数集可表示为R
解析：选D 选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
?x＋y＝1，?
4．方程组?22的解集是( )
?x－y＝9?
A．(－5,4) C．{(－5,4)}
B．(5，－4) D．{(5，－4)}
???x＋y＝1，?x＝5，
解析：选D 解方程组?22得?故解集为{(5，－4)}，选D.
???x－y＝9，?y＝－4，
5．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，
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则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A C．x1＋x2∈B
B．x2·x3∈B D．x1＋x2＋x3∈A
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集， ∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________． 解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}． 答案：{4,9,16}
7．已知A＝(－2,3]，B＝[2，＋∞)，若x∈A且x∈B，则x的取值范围为________． 解析：如图，
可知x的取值范围为[2,3]． 答案：[2,3]
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________. 解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4， 则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}． 答案：{1,3}
9．选择适当的方法表示下列集合： (1)大于1且小于8的有理数；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合； (4)100以内被3除余1的正整数．
解：(1)大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x∈Q|1＜x＜8}． (2)集合的元素是点，点有无数个，用描述法表示为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}． (3)方程(x2－9)x＝0的实数解有三个－3,0,3，集合用列举法表示为{－3,0,3}，也可以用
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描述法表示为{x|(x2－9)x＝0}．
(4)100以内被3除余1的正整数用列举法表示为{1,4,7,10,13，…，100}，用描述法表示为{x|x＝3k＋1，k∈N，x≤100}．
10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3,1}，
??－3＋1＝a＋1，所以方程x－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3,1.由根与系数的关系得?
?－3×1＝b，?
2
??a＝－3，
解得?所以y＝x2＋3x－3.将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理，
?b＝－3，?
得x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±23，所以B＝{－3－23，－3＋23}．
B级——高考水平高分练
1．对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )
A．18 C．16
B．17 D．15
解析：选B 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16，14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.
2．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．
解析：∵甲最终的得分为27分， ∴甲答对了10道题目中的9道， ∵甲和乙都解答了所有的试题，
∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．
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∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分．
如果是第一道题以外的一个题目， 则乙一定答错，而第一道题， 则乙也一定答错，此时乙可得24分．
综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24,27,30}． 答案：{24,27,30}
3．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}． (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 解：(1)集合A中含有两个元素，
即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解， ∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0， 9
解得a<且a≠0，
4
90，?. ∴实数a的取值范围为(－∞，0)∪??4?1
(2)当a＝0时，x＝，符合题意；
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当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥.
49?∴实数a的取值范围为??4，＋∞?∪{0}．
4．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论． 解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)， 令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b. 故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
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(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6?M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
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(新教材)2024-2024新课程同步人教B版高中数学必修第一册：课时跟踪检测(二) 集合的表示
