分类讨论函数的单调性
一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。
?1,x?1?例1 设k?R，函数f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R，试讨论函数F(x)的单调性。
??x?1,x?1?
二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否
落在定义域内，从而引起讨论。 例2 已知a是实数，函数f?x??（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间；
（Ⅱ）设g?a?为f?x?在区间?0,2?上的最小值。
（i）写出g?a?的表达式；（ii）求a的取值范围，使得?6?g?a???2。
三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义
域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
x?x?a?
2ax?a2?1例3已知函数f?x???x?R?，其中a?R。 2x?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f?x?在点2,f?2?处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f?x?的单调区间与极值。
2??
例4（改编）设函数f?x??x?bln?x?1?，其中b?0，求函数f?x?的极值点。 例5已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1 （I） 讨论函数f(x)的单调性；
（II） （II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。 例6已知函数f(x)=In(1+x)-x+
x2x(k≥0)。 2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
例7设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)2对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。
(1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数。 x?1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，??mx1?(1?m)x2，
??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。
?1?k?1?x?2,x?1??12?kx,x?1,???1?x?例1解：F(x)?f(x)?kx??1?x。 ,F'(x)????x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1??2x?1?考虑导函数F'(x)?0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。
（一）若x?1，则F'(x)?1?k?1?x?2?1?x?2F'(x)?0无实根，F'(x)?0。由于当k?0时，而当k?0时，
有实根，
因此，对参数k分k?0和k?0两种情况讨论。
（1） 当k?0时，F'(x)?0在(??,1)上恒成立，所以函数F(x)在(??,1)上为增函数；
（2） 当k?0时，F'(x)?1?k?1?x?2?1?x???1k2??1????1???k?x??1?x?1???????k????k?????。 2?1?x?由F'(x)?0，得x1??1?1???,x?1??2??，因为k?0，所以x1?1?x2。
k???由F'(x)?0，得1?11?x?1；由F'(x)?0，得x?1?。 kk11)上为减函数，在(1?,1)上为增函数。 kk因此，当k?0时，函数F(x)在(??,1?（二）若x?1，则F'(x)??1?2kx?1。由于当k?0时，F'(x)?0无实根，而当k?0时，
2x?1F'(x)?0有实根，因此，对参数k分k?0和k?0两种情况讨论。
（1） 当k?0时，F'(x)?0在?1,???上恒成立，所以函数F(x)在?1,???上为减函数；
1???k?x?1??1?2kx?12k???（2） 当k?0时，F'(x)??。 2x?1x?1
由F'(x)?0，得x?1?111?x?1?；由，得。 F'(x)?04k24k2因此，当k?0时，函数F(x)在?1,1???1?1??上为减函数，在1?,???上为增函数。 2?2?4k??4k?a??3?x??x?a3x?a3?'例2解：（Ⅰ）函数的定义域为?0,???，f?x??x?????x?0?，由
2x2x2xf'(x)?0得x?aa。考虑是否落在导函数f'(x)的定义域?0,???内，需对参数a的取值分a?0及33a?0两种情况进行讨论。
（1） 当a?0时，则f'(x)?0在?0,???上恒成立，所以f?x?的单调递增区间为?0,???。 （2） 当a?0时，由f'(x)?0，得x?aa；由f'(x)?0，得0?x?。 33因此，当a?0时，f?x?的单调递减区间为?0,?，f?x?的单调递增区间为?,???。
33（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：
（1） 当a?0时，f?x?在?0,???上单调递增，从而f?x?在?0,2?上单调递增，所以
?a????a???g?a??f?0??0。
（2） 当a?0时，f?x?在?0,?上单调递减，在?,???上单调递增，所以：
33① 当
?a????a???a?a??a?
??0,2?，即0?a?6时，f?x?在?0,?上单调递减，在?,2?上单调递增， 3?3??3?
所以g?a??f?② 当
2a3a2aa?a?。 ?????9333??a??2,???，即a?6时，f?x?在?0,2?上单调递减，所以g?a??f?2??2?2?a?。 3例3解：（Ⅰ）当a?1时，曲线y?f?x?在点2,f?2?处的切线方程为6x?25y?32?0。
??1???2ax?ax?????2a?x?1??2x?2ax?a?1?a??'?（Ⅱ）由于a?0，所以f?x??。 2222?x?1??x?1?22由f'?x??0，得x1??a,x2?a。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需
??1??1?，内为减函数，在区间a,???????,a?为a??a?1对参数a的取值分a?0和a?0两种情况进行讨论。 （1） 当a?0时，则x1?x2。易得f?x?在区间???,?
增函数。故函数f?x?在x1??1?1?处取得极小值f?????a2；函数f?x?在x2?a处取得极大值a?a?f?a??1。
（2） 当a?0时，则x1?x2。易得f?x?在区间(??,a)，(?减函数。故函数f?x?在x1??11,??)内为增函数，在区间(a,?)为aa1?1?处取得极小值f?????a2；函数f?x?在x2?a处取得极大值a?a?f?a??1。
b2x2?2x?b?例4解：由题意可得f?x?的定义域为??1,???，f?x??2x?，f'?x?的分母x?1x?1x?1'在定义域??1,???
上恒为正，方程2x?2x?b?0是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。 （1）当??4?8b?0，即b?2112时，方程2x?2x?b?0无实根或只有唯一根x??，所以22g?x??2x2?2x?b?0
在??1,???上恒成立，则f'?x??0在??1,???上恒成立，所以函数f?x?在??1,???上单调递增，从而
函数f?x?在??1,???上无极值点。 （2）当??4?8b?0，即b?12'时，方程2x?2x?b?0，即f?x??0有两个不相等的实根： 2x1??1?1?2b?1?1?2b。 ,x2?22这两个根是否都在定义域??1,???内呢？又需要对参数b的取值分情况作如下讨论： （
ⅰ
）
当
b?0时，
x1??1?1?2b?1?1?2b??1,x2???1，所以
22x f'?x? f?x? ??1,x2? x1???1,???,x2???1,???。
此时，f'?x?与f?x?随x的变化情况如下表：
?x2 0 ?x2,??? 极小值 ? 递减 递增 x
??1,x1? x1 ?x1,x2?x2 ?x2,??? 由此表可知：当b?0时，f?x?有唯一
f'?x? f?x? ? 0 极大值 ? 0 极小值 ?所
?1?1?2b极小值点x2?。
2（
ⅱ
）
当
递增 递减 递增 0?b?12时，
x1??1?1?2b?1?1?2b??1,x2???122，以
x1???1,???,x2???1,???。
此时，f'?x?与f?x?随x的变化情况如下表： 由此表可知：当0?b?1?1?1?2b时，f?x?有一个极大值点x1?和一个极小值点22x2??1?1?2b。
2a?12ax2?a?1?2ax?例5解：（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）. f'(x)?. xx当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得x??a?1. 2a则当x?(0,?a?1a?1)时，f'(x)＞0；x?(?,??)时，f'(x)＜0. 2a2aa?1a?1)单调增加，在(?,??)单调减少. 2a2a故f(x)在(0,?（Ⅱ）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2
等价于 ?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①
a?1?2ax?4 xa?1?2ax?4?0. ①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即 x令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)??4x?1(2x?1)2?4x2?2(2x?1)2???2 故a的取值范围为（-∞，-2]. 从而a?2x2?12x2?12x2?1
分类讨论函数的单调性(修改)
