? (t) ? ?0 ，t ≥t0
因为 ab 和cd 边切割磁力线，线框中产生的感应电动势随时间变化的关系为
⑩
sin 2Blv 6BI sin (t t )
6BI (t t )
0
2Bl l
2
6BI 2sin (t t )=Bl 6BI 0 0 0 m m
0 m 0 0
m
?
P 、Q 间电压VPQ 随时间变化的表达式为
V Bl2
PQ 0 6BI 6BI sin 0 (t m m 0
t )
?
（4）当 P 、Q 短路后，设线框转到某一角位置 时的角速度为
生的
，由于 ab 和cd 边切割磁力线产
感应电动势为 Bl Bl 2 B l R sin
sin
2
Bl ， 在线框中产生的电流为 ??sin??， ab 和 cd 边受到的安培力大小为
R B2l3 R sin ，分别指向 X 轴正向和反向，形成的力偶矩为
M B2l4 2 sin R ?
设 P 、Q 刚短路的时刻为t1 ，此时线框还在以⑨式的角速度逆时针转动，其角动量为
J0
ml 2 6B 0 I 6 m l 0 2mBI 6 1
?
由于受到上述力偶矩的作用，线框转动会减慢直至停止。设停止转动时的时刻为tx ，角位置为
， 此时线框的角动量为0 。根据角动量定理，应有
tx 0 J由此得
tx 24
0
t1
Mdt ，
B2l d R
2
sin1
?
Bl1
J0
t1
R Bl sin2 sindt
??R ?1?
24
?
式中右端积分已应用了 是小角度的题设条件。由①?式得
2 4
R?0 mI RJ?0
??B l sin ??? Bl2 sin2 ? 1 6B 1
π
当
?
1
2
?
时， 有最小值
m R mI
Bl 2 6B 0
?
评分参考：第（1）问 2 分，①式 2 分；第（2）问 12 分，②③④⑤⑥式各 2 分，⑦⑧式各 1 分；第（3） 问 8 分，⑨⑩??式各 2 分；第（4）问 13 分，?????式各 2 分，?式 1 分，?式 2 分。
五、（35 分）如图，某圆形薄片材料置于 xOy 水平面上，圆心位于坐标原点O ：xOy 平面上方存在大小 为 E 、沿 z 轴负向的匀强电场，以该圆形材料为底的圆柱体区域内存在大小为 B 、沿 z 轴正向的匀强磁场，圆柱体区域外无磁场。从原点O 向 xOy 平面上方的各方向均匀发射电荷量为 q 、质量为m 、速度 大小为v 的带正电荷的粒子。粒子所受重力的影响可忽略，不考虑粒子间的相互作用。
（1）若粒子每次与材料表面的碰撞为弹性碰撞，且被该电场和磁场束缚在上述圆柱体内的粒子占发射粒子总数的百分比为 50% ，求该薄片材料的圆半径 R 。
（2）若在粒子每次与材料表面碰撞后的瞬间，速度竖直分量反向，水平分量方向不变，竖宣方向的速度大小和水平方向的速度大小均按同比例减小，以至于动能减小10% 。
（i）求在粒子射出直至它第一次与材料表面发生碰撞的过程中，粒子在 xOy 平面上的投影点走过路程 的最大值：
（ii）对（i）问中投影点走过路程最大的粒子，求该粒子从发射直至最终动能耗尽而沉积于材料表面的过程中走过的路程。 已知 du 1? u2 ln(u 1 u 1? u2 2 1 2
1 u ) 2 C ， C 为积分常数。
参考解答：
（1）由于本问题在 xOy 平面上具有以圆点为中心的圆对称性，不妨设某一带正电荷的粒子的速度为
(0，vsin ，v cos ) 被电场和磁场束缚的粒子将在以材料表面为底的圆柱形区域内做 z 方向的螺旋运动（即在 xOy 平面散匀速圆周运动。在 z 方向做匀变速直线运动）。 粒子在 xOy 平面内的投影做匀速圆周运动的半径为
mv sin
r( ) qB 若该粒子能被该电场和磁场束缚在以圆形材料为底的圆柱形区域内，则有
Rr( ) ≤ 0
2
①
②
假 设被电场 和磁场束缚 住的粒子 的发射方向 均匀分布 在以 z 轴为对 称轴的立 体角 ： 0 ≤ ≤ ，0 ≤ ≤ 2π 内，这一立体角所对应半径为一个长度单位的球面的面积（立体角的值
） 为
2π0
d cos 2π(1 cos ) ③
从原点O 向 xOy 平面上方各方向均匀发射的带正电荷的粒子所占的立体角为2π 。按题意，被该电场和磁场束缚的粒子占发射粒子总数的百分比 为
由③④式得
π 50% ④
2π 2π
≤
3
π
⑤
可见，只要粒子速度方向与 z 轴的夹角 满足条件⑤式，它就必然会被电场和磁场束缚住。由①②③④⑤式可知
3m??R ?
⑥
qB （2）
（i）带正电荷的粒子在磁场和电场区域做螺旋运动，由①式得，粒子投影在 xOy 平面做一次圆周运动的时间为
T ??vsin
2πr qB
2πm ⑦
粒子在 z 方向做匀变速直线运动，以粒子发射时刻为计时零点．设粒子第一次与材料表面碰撞前的瞬间为时刻t1 ( ) ，由运动学公式有
v cos a 2
t1 ( ) 0 ⑧
式中
qE a
m ⑨
由⑧⑨式得
t ) 1 (
qE 2mv cos
⑩
粒子在 xOy 平面的投影做一次圆周运动的路程为
d ( ) 2πr( )
qB 2πmvsin
?
粒子在 xOy 平面的投影在t1 时间走过的总路程 sz s (0
(
) 为
) t1 (z?0
)
T π
d ( ) mv2 sin 2
qE
?
当
4
?
时， sz 大
0
最
2017第34届全国中学生物理竞赛决赛真题几答案解析(精心整理)
