4-1-5.奇妙的一笔画
所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法.
什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏. 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.
一笔画问题:
(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;
(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点;
(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点;
(4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画. 多笔画问题:
我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n个奇点(n为自然数),那么这个图一定可以用n笔画成.
知识点拨
例题精讲
模块一、判断奇偶点
【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇
点.下图中,哪些点是偶点?哪些点是奇点?
AEJBHIOFDGC【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 奇点: D H J O 偶点:A B C E F G I 【答案】奇点: D H J O 偶点:A B C E F G I
【例 2】 同学们野营时建了9个营地,连接营地之间的道路如图所示,贝贝要给每个营地
插上一面旗帜,要求相邻营地的旗帜色彩不同,则贝贝最少需要 种颜色的旗子,如果贝贝从某营地出发,不走重复路线就 (填“能”或“不能”)完成任务.
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【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛,六年级,初赛,第10题 【解析】 最少需要3种颜色的旗子。因为中间的三点连成一个三角形,要使这三点所代表营
地两粮相邻,要使相邻营地没有相同颜色的旗子,必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。不走重复路线不能完成插旗的任务,因为本题共有6各奇点。
【答案】3种颜色,不能
【例 3】 判断下列图a、图b、图c能否一笔画.
NABKCFELM
AFAOBDBGEC图aD图bC图cD
【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图a能,因为有2个奇点, 图a能b不能,因为图形不是连通的, 图c能,因为因为图中全是奇点 【答案】a能,a能,c能
【例 4】 下面图形能不能一笔画成?若果能,应该怎样画?
(1)(2)(3)【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图1能 因为图中全是偶点; 图2能 因为图中全是偶点; 图3不能因为有4个奇点。
【答案】图1能 因为图中全是偶点; 图2能 因为图中全是偶点; 图3不能因为有4个奇点。
【例 5】 下面的图形,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出?
【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 第1个能,2、3不能 【答案】第1个能,2、3不能
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【例 6】 右图是某展览厅的平面图,它由五个展室组成,任两展室之间都有门相通,整个
展览厅还有一个进口和一个出口,问游人能否一次不重复地穿过所有的门,并且从入口进,从出口出?
【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将图形中的6个区域看成6个点,每个门看成连结他们的线段,显然6个点都是偶
点,所以有人能一次不重复的走过所有的门.
【答案】能
【巩固】右图是某展览馆的平面图,一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能,
请说明理由.如果能,应从哪开始走?
EADBC
【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 不能 【答案】不能
【例 7】 下图中的线段表示小路,请你仔细观察,认真思考,能够不重复的爬遍小路的是
甲蚂蚁还是乙蚂蚁?该怎样爬?
甲
【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 要想不重复爬出,需要图形能一笔画出,由于图中有两个奇点,所以应该从奇点出
发才能一笔画出图形,所以甲蚂蚁能够.
【答案】甲蚂蚁
【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形?
乙
【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 可以. 【答案】可以
【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图,要使游客走遍每条路并且不重复,那么出、入口
应设在哪里?
IAFBEHGCD
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【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 要想不重复,需要路线能一笔画出,由于图中有两个奇点,所以入口和出口应该分
别放在两个奇点出,即F和I点.
【答案】出口和入口应该分别放在F和I点
【例 10】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信,不走重复路,怎样走最合适?
【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 不走重复路,一笔能画出路线图,图中有2个奇点,应该从奇点处出发,下面有一
种参考路线: 4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3
【答案】4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3
【例 11】 观察下面的图,看各至少用几笔画成?
ABCD(1)HGFE(2)(3)
【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 图(1)有8个奇点,所以要4笔画出, 图(2)有12个奇点,所以要一笔画出, 图(3)能一笔画出.
【答案】图(1)有8个奇点,所以要4笔画出, 图(2)有12个奇点,所以要一笔画出, 图(3)能一笔画出.
【例 12】 在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米.小明沿线段从A点到B 点,不
许走重复路,他最多能走多少米?
【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题大多数同学都采用试画的方法,实际上可以用一笔画原理求解.首先,图中
有8 个奇点,在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段,才能使这8 个奇点变成偶点;其次,从A点出发到B 点, A, B 两点必须是奇点,现在A, B 都是偶点,必须在与A,B 连接的线段中各去掉1 条线段,使A,B 成为奇点.所以至少要去掉6 条线段,也就是最多能走1800 米,走法如图
【答案】
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【例 13】 有16个点排成的4?4方阵。如图,请不间断地一笔画出6条直线经过每个点,
且最后回到起点
【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 答案不唯一
只使用横平竖直的线怎么都不够,因此尝试使用斜线进行构造。 【答案】答案不唯一
【例 14】 一条小虫沿长6分米,宽4分米,高5分米的长方体的棱爬行.如果它只能进不
能退,并且同一条棱不能爬两次,那么它最多能爬多少分米?
DAEBFGCH
【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 8个定点都是奇点,所以至少需要4笔.
多画长和高能保证总路程最长,为A-B-G-H-A-D-C-F-E-D 总长为6×4+5×4 +4×1=48分米. 【答案】48分米
【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5,4,3厘米(见右图),有一只甲虫从A点出发,
沿棱爬行,每条棱不允许重复,则甲虫回到A点时,最多能爬行多少厘米?
A【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
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