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2015年考研数学（一）试题解析
一、选择题:1?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线
y?f(x)的拐点的个数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f??(x)的图形可得，曲线y?f(x)存在两个拐点.故选（C）.
(2)设y?12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???ay??by?cex的一23个特解，则( )
(A) a??3,b?2,c??1 (B) a?3,b?2,c??1 (C) a??3,b?2,c?1 (D) a?3,b?2,c?1 【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
2xx【解析】由题意可知，e、?e为二阶常系数齐次微分方程y???ay??by?0的解，
12132所以2,1为特征方程r?ar?b?0的根，从而a??(1?2)??3，b?1?2?2，从而原方
程变为y???3y??2y?ce，再将特解y?xe代入得c??1.故选（A）
(3) 若级数
xx?an?1?n条件收敛，则 x?3与x?3依次为幂级数
?na(x?1)nn?1?n的 ( )
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(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为
?an?1?n条件收敛，即x?2为幂级数
?a(x?1)nn?1?n的条件收敛点，所以
?a(x?1)nn?1?n?n的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
?na(x?1)n?1n的收敛区间还是(0,2).因而x?3与x?3依次为幂级数
?na(x?1)nn?1?n的
收敛点，发散点.故选（B）.
(4) 设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?3x围成的平面区域，函数f?x,y?在D上连续，则
?1sin2?12sin2???f?x,y?dxdy? ( )
D(A)
???d??34f?rcos?,rsin??rdr
(B)
??d??341sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr
?(C)
??d??34?(D)
??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr
y【答案】（B）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D的图形，
?所以
??f(x,y)dxdy???d??3D41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr， 故选（B）
ox
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?1??111?????(5) 设矩阵A?12a，b??d?，若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有
???14a2??d2?????无穷多解的充分必要条件为 ( )
(A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d?? 【答案】(D)
?111?【解析】(A,b)??12a?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??，
由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2.故选（D）
222 (6)设二次型f?x1,x2,x3? 在正交变换为x?Py 下的标准形为2y1 ，其中?y2?y3P??e1,e2,e3? ，若Q??e1,?e3,e2? ，则f?x1,x2,x3?在正交变换x?Qy下的标准形为
( )
222(A) 2y1 ?y2?y3222(B) 2y1 ?y2?y3222(C) 2y1 ?y2?y3222(D) 2y1 ?y2?y3【答案】(A)
222【解析】由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y1. ?y2?y3?200???T且PAP??010?.
?00?1????100???由已知可得:Q?P?001??PC
?0?10???
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?200???TTT故有QAQ?C(PAP)C??0?10?
?001???222所以f?xTAx?yT(QTAQ)y?2y1.选（A） ?y2?y3(7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( ) (A) P?AB??P?A?P?B? (B) P?AB??P?A?P?B? (C) P?AB??【答案】(C)
【解析】由于AB?A,AB?B，按概率的基本性质，我们有P(AB)?P(A)且
P?A?P?B?P?A?P?B? (D) P?AB??
22P(AB)?P(B)，从而P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)，选(C) .
2(8)设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则E??X?X?Y?2???? ( )
(A) ?3 (B) 3 (C) ?5 (D) 5 【答案】(D)
【解析】E[X(X?Y?2)]?E(X?XY?2X)?E(X)?E(XY)?2E(X) ?D(X)?E(X)?E(X)?E(Y)?2E(X)
2 ?3?2?2?1?2?2?5，选(D) .
222二、填空题：9?14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
lncosx?_________. 2x?0x1【答案】?
20【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.
0?sinxln(cosx)cosx?lim?tanx??1. 【解析】方法一：lim?limx?0x?0x?0x22x2x21?x2ln(cosx)ln(1?cosx?1)cosx?12??1. 方法二：lim?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0x2x2x2x22(9) lim
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(10)
sinx(???21?cosx?x)dx?________.
2?π2【答案】
4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
?2sinx???【解析】?2???x?dx?2?2xdx?.
0?4?2?1?cosx?(11)若函数z?z(x,y)由方程ex?xyz?x?cosx?2确定，则dz【答案】?dx
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令F(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2，则
(0,1)?________.
Fx?(x,y,z)?yz?1?sinx,Fy??xz,Fz?(x,y,z)?ez?xy
z又当x?0,y?1时e?1，即z?0.
?z所以
?x(0,1)F?(0,1,0)?z??x??1,Fz?(0,1,0)?y(0,1)Fy?(0,1,0)???0，因而dz?Fz(0,1,0)(0,1)??dx.
(12)设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则
???(x?2y?3z)dxdydz?__________.
?【答案】
1 4【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得
???(x?2y?3z)dxdydz?6???zdxdydz?6?zdz??dxdy，
??0Dz1其中Dz为平面z?z截空间区域?所得的截面，其面积为
1(1?z)2.所以 21111232(x?2y?3z)dxdydz?6zdxdydz?6z?(1?z)dz?3(z?2z?z)dz?.????????0024??
2015年考研数一真题及答案解析（完整版）
