简答：如图 2，因为 DA=DB=DC，故 A、B、C 三点在⊙D 上，∠DAB=∠DBA=20°，故∠
1
ADB=140°，故∠ACB= ∠ADB=70°
2
3. 如图 1，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求 BD
简答：因为∠1=∠2，AD∥BC，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易证△AEB≌△ACD，故 EB=CD=6， ED=2AD=10，故 BD=8
4. 如图 1，长 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为
.
简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点 P 到定点 O 的距离始终等于 1， 满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故 P 的运动轨迹是圆弧，圆心角为 90°，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。
5. 在矩形 ABCD 中，已知 AB=2，BC=3，现有一根长为 2 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即
两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的围形的面积为
如图 1 如图 2
简答：由上一题可知，P 的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点 P 所围
成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案： 6 ?6. 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF=2， G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为
如图 1 如图 2
简单：G 的运动轨迹为圆，求 AP+PG 典型的“将军饮马”问题，故做 A 关于 BC 的对称点A＇，则 AP+PG=A＇P+PG，当 A＇、P、G 三点共线时，最短，又因为 A＇为固定点，G 在圆上运动，由“知识储备一”可知当 A＇、G、D 三点共线时，此时 A＇G 最短，为 4 7. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），B 为 y 轴正半轴上的点，C 为第一象限内的点，且 AC=2.设 tAN∠BOC=M，则 M 的取值范围为
简答：因为 AC=2，A 是定点，通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆） 可知，C 在⊙A 上运动，当 OC 与⊙A 相切时，此时∠BOC 最小，tAN∠BOC 也最小，此
OC 5
时∠BOC+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，故∠BOC=∠CAO，此时 tAN∠CAO= ，
AC 2
5
又因为角度越大，正切值越大，故 tAN∠BOC=M≥
2
8. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上
的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是
简答：E 是动点，导致 EF、EC、EP 都在变化，但是 FP=FC=2 不变，故 P 点到 F 点的距离永远等于 2，故 P 在⊙F 上运动，如图 2。由垂线段最短可知，FH⊥AB 时，FH 最短， 当 F、P、H 三点共线时，PH 最短，又因为△AFH∽△ABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因为 AF=5，故 FH=4，又因为 FP=2，故 PH 最短为 2
3 ，M 是 AD 边的中点，N 是 9. 如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3
AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△PMN，连接 PC，则 PC 长度的最小值是
简答：翻折过程中，MP=MA=2，故 P 在⊙M 上运动，当 M、P、C 三点共线时，PC 最短。
PC=MC-MP，要求 MP 需要过 M 作 MH⊥CD 于 H，∠HDM=30°，故 HM=1，HD= 故 HC=4
3 ，故易求 MC=7，则 PC=7-2=5
3 ，
【模型三：直角所对的是直径】
1. 如图 1，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且始终有 AP⊥BP，则线段 CP 长的最小值为
简答：如图 2，因为 AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB 为直径的 ⊙H 上，当 H、P、C 三点共线时 CP 最短，HB=3，BC=4 则 HC=5，故 CP=5-3=2 2. 如图 1，A（1,0）、B（3,0），以 AB 为直径作圆 M，射线 OF 交圆 M 于 E、F 两点，C为弧 AB 的中点，D 为弦 EF 的中点，当射线绕 O 旋转时，CD 的最小值为
简答：因为 D 是 EF 中点，故 MD⊥EF，故∠ODM 始终等于 90°，故 D 在以 OM 为直径的圆上，如图 2。易知 A 为圆心，当 A、D、C 三点共线时，CD 最短，CD=AC-AD，又易
知 C（2,1），故 AC= 2 ，故 CD= 2 -1
3. 在△ABC 中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O 为 AC 的中点,过 O 作 OE⊥OF,OE、OF 分别交
射线 AB,BC 于 E、F，则 EF 的最小值为
简答：因为∠EOF=90°，∠C=90°，故 C、O 均在以 EF 为直径的圆上（也称四点共圆），因为 EF 是圆的直径，O、C 均在圆上，且 OC 长度固定，要使得 EF 最短，则圆最小，要使圆最小，OC 为固定长度，则 OC 为直径时，圆最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢琢磨），此时 CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半）
4. 如图 1，已知 Rt△ABC 中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P 是边 AB 上的动点，Q 是边 BC 上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段 CQ 的取值范围．
简答：以 CQ 为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，若 AB 边上的动点 P 在圆上， ∠CPQ 就为直角．当⊙O 与 AB 相切时（如图 2），直径 CQ 最小．由切线长定理，得 AP＝
10 20
AC＝5，所以 BP＝13―5＝8．再根据△BPO∽△BCA，所以 OP＝ ，CQ＝ ．当点 Q
3 3 20
与点 B 重合时（如图 3），直径 CQ 最大，此时ＣＱ＝１２．综上所述， ≤CQ≤12
3
5. 如图 1，半径为 4 的⊙O 中，CD 为直径，弦 AB⊥CD 且过半径 OD 的中点，点 E 为⊙O 上一
动点，CF⊥AE 于点 F．当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为
3
简答：因为∠CFA=90°（定角），AC=4
（定弦），故 F 在以 AC 为直径的⊙Q 上，当 E
在 B 处时，F 在 G 处，当 E 在 D 处时，F 在 A 处，故 F 的运动路径为弧 AG 的长度，易求
60 2π 2 3= 2 3
出∠ACD=30°，故∠AQG=60°，故弧 AG 长度=
360 3
6.（2013 武汉）如图 1，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF．连接CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H．若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小
“中考数学专题复习 圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)
