Ch1 三角函数
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的定义域与值域
正弦函数： y=sinx 定义域：R 值域：[-1，1] 余弦函数： y=cosx 定义域：R 值域：[-1，1] 例 1 、求下列函数的定义域：
1）y?1?2cosx;??2sinx?3;1?tanx 2)y3)y?logsin2x[1?2cos(?x)]2
正弦函数、余弦函数的周期性
sin( x ? 2 k ? ) ? sin x ( k ? Z )
正弦函数、余弦函数具有“周而复始”的变化规律,这可以从正弦线、余弦线、函数的图象的变化规律及诱导公式中得到反映。
即自变量x的值增加2π的整数倍时,函数的值重复出现, 数学上用周期性，这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 注意事项：
(1)定义是对定义域中的每一个x的值来说的，如果只有个别的x值满足f(x?T)?f(x)，那么不能说T是f(x)的周期.例如：sin(??4??2)?sin?4,但是sin(?3??2)?sin??T(2)从等式f(x?T)?f(x)来看：自变量x本身加的常数才是周期；如：f(2x?T)?f(2x)的周期不是T，应该写成f(2(x?))?f(2x)2T其周期应为。2(3)如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如无特别说明，就是最小正周期.(4)并不是所有的周期函数都存在最小正周期。,不是sinx的周期.32(5)周期函数的周期不止一个。(6)正弦函数y?sinx,x?R,与余弦函数y?cosx,x?R都是周期函数，2k?为周期，最小正周期是2?结论：
2?一般地，函数y?Asin(?x??),x?R或y?Acos(?x??),x?R(A、?、?为常数，且A?0，??0)的周期是：
? 例1、求下列函数的周期： 1)y 3)y?3sinx,x?R;2)y?sin2x,x?R;?2sin(2x?),x?R;6
x? 4)y?cos(?),x?R.23 1 / 6
?
正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数的图象
y1?3??2?P?5?2?3?2??P??2O?2?3?22?5?23?x?1 ?3 1 13 x x ? ? ? 5 ? , ? ? k ?,k?Z对称轴：?,??, ? , ?? ?
222222 ?(??,0),(0,0),(?,0),(2?,0)?(k?,0)k?Z对称中心：
余弦函数的图像
y1PP?3?2?3??5?2?2?????2O?2?3?22?5?23?x?1
? k? x ? ? ? ,0, ? ,2 ? ? x ? , k ? Z 对称轴：??3?5?? 对称中心：?(? 结论：
2,0),(,0),(,0),(,0)?222(2?k?,0)k?Z 1、由y?sinx图像关于原点对称，所以为奇函数。正弦函数对称中心坐标为（k?,0);对称轴方程为x?k???,k?Z2
2、由y?cosx图像关于y轴对称，所以为偶函数。余弦函数对称中心坐标为（k??
?2,0);对称轴方程为x?k?,k?Z正弦函数、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y?sinx(x?R)
增区间为[-??2k?,??2k?],k?Z，其值从?1增至122
?3? 减区间为[2?2k?,2?2k?],k?Z，其值从1减至-1余弦函数的单调性
y?cosx(x?R)
增区间为[-??2k?,2k?],k?Z，其值从?1增至1 减区间为[2k?,??2k?],k?Z， 其值从1减至-1
2 / 6
结论：
1、正弦函数在每个闭区间[2k??](k?Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;22 ?3在每一个闭区间[2k??,2k???]上都是减函数,其值从1减小到?1.22?3当x?2k??时，ymax?1,当x?2k???时，ymin??1222、余弦函数在每个闭区间[2k???,2k??2?](k?Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2k?,2k???]上都是减函数,其值从1减小到?1.
?,2k???当x?2k?时，ymax?1,当x?2k???时，ymin??1综合应用
比较大小
1)sin(sin3?3?),sin(cos);882)cos1?,cos1,cos??,cos?;
453253)sin?,?cos?,sin?,cos?54512单调区间探求
1)y?2sin(?2x)49?3)y?(tan)sin2x8综合应用
?x?2)y?log2[cos(?)]34
1、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x),且在[?3，?2]上是减函数，?，?是锐角三角形的两个内角，则（ A ）A.f(sin?)?f(cos?)C.f(sin?)?f(sin?)B.f(sin?)?f(cos?)D.f(cos?)?f(cos?)2、已知函数f(x)?logacos(2x?),其中a?0,a?13求：（1）定义域；（2）单调区间；?
（3）判断奇偶性；（4）判断周期性，若是求最小正周期。3、求下列函数的值域：1）y?3?2sin2xcosx2)y?2cosx?13sinx?13)y?3sinx?2
74、（1）求函数y??sin2x?4sinx?的值域；4（2）求函数y?cos2x?sinx,x?[?,]的值域。4413（3）当函数y?sin2x?acosx?a?的最大值为1，求a的值。225、函数f(x)?2sinx，对于任意的x?R，都有f(x1)?f(x)?f(x2)，则x1?x2的最小值为_____.
??
???????6、函数f(x)?sin??x?????0?，f()?f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则??____.3?6363? 3 / 6
??37、已知函数f(x)??2a[sin(2x?)?1]?b,x?[,?],是否存在常数a,b?Q，使得f(x)的值域为[?3，3?1]？644若存在，求出对应的a,b，若不存在，说明理由。8、已知函数f(x)?sin(?x?A.12B.1C.32?6)，(??0)的图像相邻两对称轴的距离为2，则f(2009)?()
D.0sinx?a(0?x??)，下列结论正确的是sinx
(B).有最小值无最大值(D).无最大值无最小值9、设a?0，对于函数f(x)?(A).有最大值无最小值(C).有最大值有最小值10、已知函数f(x)?x2?bx?c，对任意?，??R都有f(sin?)?0且f(2?cos?)?0.(1)求f(1)的值；(2)求证：c?0；(3)若f(sin?)的最大值是10，求f(x)的表达式.
1.4.3正切函数的性质与图像
周期性：T?? ?tan(x??)?tanx,x?R,x??k?,k?Z 2 ?y?Atan(?x??)T??
奇偶性： ?tan(?x)??tanx,x?R,x??k?,k?Z 2 正切函数是奇函数
正切函数的性质
???1.定义域：xx??k?,k?Z??2??3.周期性：T=?2.值域：R4.奇偶性：奇函数k6.对称性：对称中心(?，；不是轴对称图形0)2????5.在开区间???k?,?k??k?Z内递增2?2????? 例1、求函数y?tan?x??的定义域、周期和单调区间,对称中心，对称轴。3??2?13?例2、比较tan???3??17??与tan????4??的大小? ?1????例3、若x???,?,求函数y??2tanx?1的最值及相应的x的值. 234cosx??
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1.5函数y=Asin(?x??)的图像
?对y?sin(x??)，x?R的图像的影响
函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ >0时)或向右(当φ <0时)平移| φ |个单位而得到的。 φ的变化引起图象位置发生变化(左加 右减） ?（??0)对y=sin(?x??)的图象的影响
函数的图象y?sin?x(??0且??1）的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长(当0
一般地，函数y?Asinx，x?R（其中A＞0且A?1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。函数y?Asinx，x?R的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A。
结论：
怎样由y?sinx的图象得到y?Asin(?x??)(其中A?0,??0)的图象?
(1)先画出函数y?sinx的图象; (2)再把正弦曲线向左(右)平移?个单位长度,得到函数y?sin(x??)的图象; (3)然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍,(纵坐标不变)得到函数y?sin(?x??)的图象;?
(4)最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,(横坐标不变)这时的曲线就是函数y?Asin(?x??)的图象.
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人教版数学必修四1.4.1~1.5知识点总结+例题
