Ch1 三角函数
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的定义域与值域
正弦函数: y=sinx 定义域:R 值域:[-1,1] 余弦函数: y=cosx 定义域:R 值域:[-1,1] 例 1 、求下列函数的定义域:
1)y?1?2cosx;??2sinx?3;1?tanx 2)y3)y?logsin2x[1?2cos(?x)]2
正弦函数、余弦函数的周期性
sin( x ? 2 k ? ) ? sin x ( k ? Z )
正弦函数、余弦函数具有“周而复始”的变化规律,这可以从正弦线、余弦线、函数的图象的变化规律及诱导公式中得到反映。
即自变量x的值增加2π的整数倍时,函数的值重复出现, 数学上用周期性,这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。 注意事项:
(1)定义是对定义域中的每一个x的值来说的,如果只有个别的x值满足f(x?T)?f(x),那么不能说T是f(x)的周期.例如:sin(??4??2)?sin?4,但是sin(?3??2)?sin??T(2)从等式f(x?T)?f(x)来看:自变量x本身加的常数才是周期;如:f(2x?T)?f(2x)的周期不是T,应该写成f(2(x?))?f(2x)2T其周期应为。2(3)如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,今后提到的三角函数的周期,如无特别说明,就是最小正周期.(4)并不是所有的周期函数都存在最小正周期。,不是sinx的周期.32(5)周期函数的周期不止一个。(6)正弦函数y?sinx,x?R,与余弦函数y?cosx,x?R都是周期函数,2k?为周期,最小正周期是2?结论:
2?一般地,函数y?Asin(?x??),x?R或y?Acos(?x??),x?R(A、?、?为常数,且A?0,??0)的周期是:
? 例1、求下列函数的周期: 1)y 3)y?3sinx,x?R;2)y?sin2x,x?R;?2sin(2x?),x?R;6
x? 4)y?cos(?),x?R.23 1 / 6
?
正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数的图象
y1?3??2?P?5?2?3?2??P??2O?2?3?22?5?23?x?1 ?3 1 13 x x ? ? ? 5 ? , ? ? k ?,k?Z对称轴:?,??, ? , ?? ?
222222 ?(??,0),(0,0),(?,0),(2?,0)?(k?,0)k?Z对称中心:
余弦函数的图像
y1PP?3?2?3??5?2?2?????2O?2?3?22?5?23?x?1
? k? x ? ? ? ,0, ? ,2 ? ? x ? , k ? Z 对称轴:??3?5?? 对称中心:?(? 结论:
2,0),(,0),(,0),(,0)?222(2?k?,0)k?Z 1、由y?sinx图像关于原点对称,所以为奇函数。正弦函数对称中心坐标为(k?,0);对称轴方程为x?k???,k?Z2
2、由y?cosx图像关于y轴对称,所以为偶函数。余弦函数对称中心坐标为(k??
?2,0);对称轴方程为x?k?,k?Z正弦函数、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y?sinx(x?R)
增区间为[-??2k?,??2k?],k?Z,其值从?1增至122
?3? 减区间为[2?2k?,2?2k?],k?Z,其值从1减至-1余弦函数的单调性
y?cosx(x?R)
增区间为[-??2k?,2k?],k?Z,其值从?1增至1 减区间为[2k?,??2k?],k?Z, 其值从1减至-1
2 / 6
结论:
1、正弦函数在每个闭区间[2k??](k?Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;22 ?3在每一个闭区间[2k??,2k???]上都是减函数,其值从1减小到?1.22?3当x?2k??时,ymax?1,当x?2k???时,ymin??1222、余弦函数在每个闭区间[2k???,2k??2?](k?Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2k?,2k???]上都是减函数,其值从1减小到?1.
?,2k???当x?2k?时,ymax?1,当x?2k???时,ymin??1综合应用
比较大小
1)sin(sin3?3?),sin(cos);882)cos1?,cos1,cos??,cos?;
453253)sin?,?cos?,sin?,cos?54512单调区间探求
1)y?2sin(?2x)49?3)y?(tan)sin2x8综合应用
?x?2)y?log2[cos(?)]34
1、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x),且在[?3,?2]上是减函数,?,?是锐角三角形的两个内角,则( A )A.f(sin?)?f(cos?)C.f(sin?)?f(sin?)B.f(sin?)?f(cos?)D.f(cos?)?f(cos?)2、已知函数f(x)?logacos(2x?),其中a?0,a?13求:(1)定义域;(2)单调区间;?
(3)判断奇偶性;(4)判断周期性,若是求最小正周期。3、求下列函数的值域:1)y?3?2sin2xcosx2)y?2cosx?13sinx?13)y?3sinx?2
74、(1)求函数y??sin2x?4sinx?的值域;4(2)求函数y?cos2x?sinx,x?[?,]的值域。4413(3)当函数y?sin2x?acosx?a?的最大值为1,求a的值。225、函数f(x)?2sinx,对于任意的x?R,都有f(x1)?f(x)?f(x2),则x1?x2的最小值为_____.
??
???????6、函数f(x)?sin??x?????0?,f()?f(),且f(x)在区间(,)上有最小值,无最大值,则??____.3?6363? 3 / 6
??37、已知函数f(x)??2a[sin(2x?)?1]?b,x?[,?],是否存在常数a,b?Q,使得f(x)的值域为[?3,3?1]?644若存在,求出对应的a,b,若不存在,说明理由。8、已知函数f(x)?sin(?x?A.12B.1C.32?6),(??0)的图像相邻两对称轴的距离为2,则f(2009)?()
D.0sinx?a(0?x??),下列结论正确的是sinx
(B).有最小值无最大值(D).无最大值无最小值9、设a?0,对于函数f(x)?(A).有最大值无最小值(C).有最大值有最小值10、已知函数f(x)?x2?bx?c,对任意?,??R都有f(sin?)?0且f(2?cos?)?0.(1)求f(1)的值;(2)求证:c?0;(3)若f(sin?)的最大值是10,求f(x)的表达式.
1.4.3正切函数的性质与图像
周期性:T?? ?tan(x??)?tanx,x?R,x??k?,k?Z 2 ?y?Atan(?x??)T??
奇偶性: ?tan(?x)??tanx,x?R,x??k?,k?Z 2 正切函数是奇函数
正切函数的性质
???1.定义域:xx??k?,k?Z??2??3.周期性:T=?2.值域:R4.奇偶性:奇函数k6.对称性:对称中心(?,;不是轴对称图形0)2????5.在开区间???k?,?k??k?Z内递增2?2????? 例1、求函数y?tan?x??的定义域、周期和单调区间,对称中心,对称轴。3??2?13?例2、比较tan???3??17??与tan????4??的大小? ?1????例3、若x???,?,求函数y??2tanx?1的最值及相应的x的值. 234cosx??
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1.5函数y=Asin(?x??)的图像
?对y?sin(x??),x?R的图像的影响
函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ >0时)或向右(当φ <0时)平移| φ |个单位而得到的。 φ的变化引起图象位置发生变化(左加 右减) ?(??0)对y=sin(?x??)的图象的影响
函数的图象y?sin?x(??0且??1)的图象可以看作是把y?sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长(当0?1时)到原来的1倍(纵坐标不变)而得到的。?2?T?? ?决定函数的周期A(A?0)对y=Asin(?x??)的图象的影响
一般地,函数y?Asinx,x?R(其中A>0且A?1)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到。函数y?Asinx,x?R的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A。
结论:
怎样由y?sinx的图象得到y?Asin(?x??)(其中A?0,??0)的图象?
(1)先画出函数y?sinx的图象; (2)再把正弦曲线向左(右)平移?个单位长度,得到函数y?sin(x??)的图象; (3)然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍,(纵坐标不变)得到函数y?sin(?x??)的图象;?
(4)最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,(横坐标不变)这时的曲线就是函数y?Asin(?x??)的图象.
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人教版数学必修四1.4.1~1.5知识点总结+例题
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