江西省吉安市第一中学2020学年高二数学上学期第一次月考试
题 理（含解析）
一、选择题（本大题共12小题）
1. 若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（ ）
A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则
2. 已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（ ）
A. B. C. 10 D. 12 4. 化简方程=10为不含根式的形式是（ ）
A. B. C. D.
5. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. 或 D. 以上答案都不对 6. 若x，y满足，则的最大值为（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 1
7. 与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（）
A. B. C. D.
8. 设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是
底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ） A. B. C. D.
9. 设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点( )
A. 必在圆外 B. 必在圆上 C. 必在圆内 D. 以上三种情形都有可能 10. 已知P（-4，-4），Q是椭圆x2+2y2=16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足PM=MQ，
则动点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D.
11. 直线y＝kx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（）
A. 4 B. 2 C. D. 不能确定
12. 若对圆（x-1）2+（y-1）2=1上任意一点P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值
与x，y无关，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（本大题共4小题）
13. 椭圆短轴的长为8,则实数______．
14. 已知直线l:与圆交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则
_____________.
15. 已知点P是椭圆+＝1上一点，其左、右焦点分别为F1、F2，若△F1PF2的外接圆半
径为4，则△F1PF2的面积是 ．
16. 已知从圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点
为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题）
17. 已知两直线l1：ax-by+4=0，l2：（a-1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的
值．
（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直；
（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
18. Ⅰ求以原点O为圆心,被直线所得的弦长为的圆的方程．
Ⅱ求与圆外切于点且半径为的圆的方程．
19. 已知圆的方程为．
（Ⅰ）求过点且与圆相切的直线的方程； （Ⅱ）圆有一动点，若向量，求动点的轨迹方程．
20. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． 21. 过点M（4，3）的动直线l交x轴的正半轴于A点，交y轴正半轴于B点．
（Ⅰ）求△OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程．
（Ⅱ）设P是△OAB的面积S取得最小值时△OAB的内切圆上的动点，求
u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围．
22. 已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P，直线l与椭圆交于A，B两点（A，B两点不是左右顶点），若直线l的斜率为时，弦AB的中点D在直线上． （Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：点与面的关系用符号∈，而不是?，所以答案A错误；直线与平面的关系用?表示，则AB∈α表示错误； 点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB?α，答案C错误；而A∈a，a?α，则A∈α，所以答案D正确． 故选：D．
本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．
立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．
2.【答案】D
【解析】解：如图所示，
直观图△A′B′C′的高为
h=C′D′sin45°=CDsin45°=×2×sin60°×sin45°=， 底边长为A′B′=AB=2； 所以△A′B′C′的面积为： S=AB?h=×2×=． 故选：D．
作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积．
本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题． 3.【答案】B
【解析】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4， ∴8a1+×1=4×（4a1+）， 解得a1=．
则a10=+9×1=． 故选：B．
利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题． 方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求． 【解答】
解：方程=10，
它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为10＞6， 从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上， 且a =5，c=3，∴b=4， 其标准方程为： 故选：C． 5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,属于基础题. 分类讨论椭圆的焦点在x轴和y轴上求解即可. 【解答】
解: 直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
2
所以a＝5，
所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1,
2
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a＝5， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可得，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1. 故选C.
6.【答案】B
【解析】解：作出不等式式表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部
其中C（1，1），设P（x，y）为区域内点， 定点D（0，-1）． z===2，
z的最大值为：2． 故选：B．
作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．设P（x，y）为区域内一点，定点D（0，-1），可得目标函数的表示P、O两点连线的斜率，运动点P并观察直线PD斜率的变化，即可得到z的最大值．
本题给出二元一次不等式组，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，是中档题． 7.【答案】C
【解析】【分析】
由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径．
本题主要考查了由题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度． 【解答】
解：由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为（-1，1），半径为， ∴过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0， 所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，
∴圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，
江西省吉安市第一中学2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）
