∴∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角 在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴在Rt△AON中，∴在Rt△PON中，
，
．
∴
解法二：
（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴， 建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图所示） 则
∵P为AC中点，∴设∴∴∵∴
所以存在点
， 即
，
．
．
，
，且
．
，∵
．
，
使得PQ⊥OA且
（Ⅱ）记平面ABC的法向量为=（n1，n2，n3），则由
，
得，故可取
又平面OAC的法向量为=（0，1，0）． ∴cos＜，＞=
两面角O﹣AC﹣B的平面角是锐角，记为θ，则
．
【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值； 空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值； 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；
19．（12分）（2010?湖北）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房．
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6） 【考点】数列的应用． 【专题】应用题．
【分析】（1）由题意要知第1年末的住房面积
．
（Ⅱ）第5年末的住房面积
，第2年末的住房面积
=
，依题意可知，1.6a﹣6b=1.3a，由此解得每年拆除的旧房
面积为．
【解答】解：（1）第1年末的住房面积第2年末的住房面积
，
，
（Ⅱ）第3年末的住房面积
=
第4年末的住房面积第5年末的住房面积a?（
）5﹣
，
，
b
依题意可知，1.6a﹣6b=1.3a，解得所以每年拆除的旧房面积为
， ．
=
【点评】本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件． 20．（13分）（2010?湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1． （Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线的应用．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可． （Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现
?
＜0的等价转化；最
后通过m、t的不等式求出m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得y2=4x（x＞0）． （Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）． 设l的方程为x=ty+m，由
得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，
于是①
又
+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0② 又
，于是不等式②等价于
．
?（x1﹣1）（x2﹣1）
③
由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
，且m的取值范围
．
【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．
21．（14分）（2010?湖北）设函数
，其中a＞0，曲线y=f（x）
在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，确定b、c的值． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】先求出函数f（x）的导函数f′（x），再根据曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，可得f（0）=1，f′（0）=0，解之即可求出所求．
【解答】解：由f（x）=得：
f（0）=c，f′（x）=x2﹣ax+b，f′（0）=b． 又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1， 得到f（0）=1，f′（0）=0． 故b=0，c=1．
湖北省高考数学试卷文科答案与解析
