课时作业28 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( B ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) 13，－? D．e1＝(2，－3)，e2＝?4??2
解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B．
2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( A ) A．(－23，－12) C．(7,0)
B．(23,12) D．(－7,0)
解析：3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A．
3．(2024·合肥质检)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，→→→
O为AD的中点，若AO＝λAB＋μBC，则λ＋μ等于( D )
A．1 1C．
3
1B． 22D． 3
→→→→1→
解析：∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，∵O为AD的中点，
3→→1→→1→1→∴2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.
326112
故λ＋μ＝＋＝. 263
→
4．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为( D ) A．(7,4) C．(5,4)
B．(7,14) D．(5,14)
→
解析：设点B的坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)．
?→
由AB＝3a，得?
?x＋1＝6，
??x＝5，解得?即B(5,14)．
?y－5＝9，?y＝14，??
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( A ) A．充分必要条件 C．必要不充分条件
解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件．
→→→→→
6．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则( A )
21A．x＝，y＝ 3312
B．x＝，y＝ 3313
C．x＝，y＝ 4431
D．x＝，y＝ 44
→→→→→→→2→→2→→
解析：由题意知OP＝OB＋BP，又因为BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)
332→1→21
＝OA＋OB，所以x＝，y＝. 3333
7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行，则A＝( B )
πA．
6πC．
2
πB． 32πD． 3
解析：因为m∥n，所以asinB－3bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝π
0，又sinB≠0，从而tanA＝3，由于0 3 8．(2024·合肥市一模)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( D ) 68 －，? A．??55?68，－? C．?5??5 B．(－6,8) D．(6，－8) 解析：解法1：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝10，则9t2 ＋16t2＝100，解得t＝2，或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D． 3434 ，－?，令b＝t?，－?(t>0)，由|b|＝10，得t解法2：与a方向相反的单位向量为?5?5??5?5＝10，所以b＝(6，－8)，故选D． 解法3：由两向量方向相反，排除A，B，又|b|＝10，排除C，故选D． →2→→→1→ 9．(2024·郑州预测)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上一点，若AP＝tAB＋AC， 33则实数t的值为( C ) 2 A． 31C． 6 2B． 53D． 4 →2→→2→→→→→→2→→2→ 解析：解法1：∵AN＝NC，∴AN＝AC.设NP＝λNB，则AP＝AN＋NP＝AC＋λNB＝AC35552→→→→2→→2→→→1→→1→－AC＋AB?＝λAB＋(1－λ)AC，又AP＝tAB＋AC，∴tAB＋AC＝＋λ(NA＋AB)＝AC＋λ??5?5533 ??t＝λ，→2→ λAB＋(1－λ)AC，得?215?1－λ?＝，?3?5 1 解得t＝λ＝，故选C． 6 →2→→5→→→1→→5→ 解法2：∵AN＝NC，∴AC＝AN，∴AP＝tAB＋AC＝tAB＋AN.∵B，P，N三点共线， 323651 ∴t＋＝1，∴t＝，故选C． 66 →→→10．(2024·河北邢台模拟)在△ABC中，点D满足BD＝2DC，E为AD上一点，且BE＝→→ mBA＋nBC(m>0，n>0)，则mn的最大值为( A ) 1A． 61C． 3 1B． 41D． 2 →→→3→→→→→3→ 解析：因为BD＝2DC，所以BC＝BD，则BE＝mBA＋nBC＝mBA＋nBD.因为A，E，D 223 三点共线，所以m＋n＝1≥2 21 mn≤.故选A． 6 二、填空题 →→→ 11．已知O为坐标原点，A(1,1)，C(2,3)且2AC＝CB，则OB的坐标是(4,7)． →→→→→→→→→ 解析：由2AC＝CB，得2(OC－OA)＝OB－OC，得OB＝3OC－2OA＝3(2,3)－2(1,1)＝ 3311 m·n，当且仅当m＝n，即m＝，n＝时，等号成立，故2223 (4,7)． π1 12．设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝. 22解析：∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0， ∴2sinθcosθ－cos2θ＝0. π1 ∵0<θ<，∴cosθ>0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝. 22 →→→→→→ 13．已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λμ＝－3. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy， →→→ 则AC＝(2，－2)，AB＝(1,2)，AD＝(1,0)， 由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)， ???2＝λ＋μ，?λ＝－1，即?解得?所以λμ＝－3. ???－2＝2λ，?μ＝3， 14．(2024·南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝25，a＝λb(λ<0)，则m－n＝－6. 解析：∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)， ∴由|a|＝25，得m2＋n2＝20，① m<0，?? 由a＝λb(λ<0)，得?n>0， ??－2m－n＝0， ② 由①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6. 15．已知向量a＝(x,2)，b＝(4，y)，c＝(x，y)(x>0，y>0)，若a∥b，则|c|的最小值为4. 解析：a∥b?xy＝8，所以|c|＝ x2＋y2≥2xy＝4(当且仅当x＝y＝22时取等号)． →→ 16．(2024·河北邯郸联考)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，→→→ 点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，则x＋y的最大值是( D ) 1A． 2C． 3 2 B．1 D．2 解析：以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)， 213 0≤θ≤π?. B?－，?，C(cosθ，sinθ) ?3???22?→→→ ∵OC＝xOA＋yOB， ?∴?3 sinθ＝y，?2 ∴x＋y＝π θ＋?. ＝2sin??6?1cosθ＝x－y， 2 ?∴?2 y＝sinθ，?3 x＝ 1 sinθ＋cosθ，3 12 sinθ＋cosθ＋sinθ＝3sinθ＋cosθ 33π12 θ＋?∈?，1?， 又知0≤θ≤π，∴sin??6??2?3π ∴当θ＝时，x＋y取最大值2，故选D． 3
2024届高考数学一轮总复习课时作业28平面向量基本定理及坐标表示含解析苏教版
