2-6用梅逊增益公式求传递函数C(s)/R(s)和E(s)/R(s)。
图2-6
解：C(s)/R(s):单独回路3个，即
L1??G1H1L2??G3H2L3??G1G2G3H1H2
L1L2两个互不接触的回路,于是，得特征??1??La??LbLc ?1?G1H
1?G3H2?G1G2G3H1H2?G1G3H1H2
从输入R到输出C的前向通路共有1条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P1?G1G2G3 ?1?1
P2?G3G4 ?2?1?G1H1
因此，传递函数为
C(s)P1?1?P2?R(s)?2? ?G1G2G3?G3G4(1?G1H1)1?G1H1?G3H2?G1G2G3H1H2?G
1G3H1H2E(s)/R(s):单独回路3个，即
L1??G1H1L2??G3H2L3??G1G2G3H1H2
L1L2两个互不接触的回路,于是，得特征??1??La??LbLc ?1?G1H1?G3H2?G1G2G3H1H2?G
1G3H1H2
从输入R到输出E的前向通路共有2条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P1?1 ?1?1?G3H2
式为
式为
P2??G3G4H1H2 ?2?1
因此，传递函数为
E(s)P1?1?P2?2?R(s)??
1?G3H2?G3G4H1H21?G1H1?G3H2?G1G2G3H1H2?G1G3H1H2
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-1所示。试确定系统的传递函数。
4 3
0.1
图3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为
?(s)?23?ns?2??ns??22n
然后由响应的?p%、tp及相应公式，即可换算出?、?n。
?p%?c(tp)?c(?)c(?)?4?3?33% 3tp?0.1（s）
由公式得
?p%?e???/tp?1??2?33%
??n1??2?0.1
换算求解得： ??0.33、 ?n?33.2
23?n3306 ?(s)?2?22s?2??ns??ns?22ns?1102
3-2 设系统如图3-2所示。如果要求系统的超调量等于15%，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时，确定在此K1和Kt数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
R(s)
K/s(s+1)
C(s)
1+Kts
图3-2
解 由图示得闭环特征方程为
s2?(1?K1Kt)s?K1?0
即
K1??由已知条件
2n，
21?Kt?n ?t?2?n?p%?e???tp?解得
t/1??t2?0.15
??n1??t2?0.8?t?0.517,?n?4.588s?1
于是
?12?t?nK1?21.05 Kt??0.178
K1td?tr?1?0.6?t?0.2?t2?n2t?0.297s
????n1?????arccos?t?n1??
2t?0.538s
ts?3.5?1.476s
?t?n
3-3 已知系统特征方程式为s?8s?18s?16s?5?0试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
解 劳斯表为
432s4 1 18 5 s3 8 16 0 s2 8?18?1?168?5?1?0?16 ?5 8816?16?8?5s1 ?13.5 0
1613.5?5?16?0s0 ?5
13.5由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。
3-4 已知系统特征方程为s?s?2s?2s?3s?5?0试判断系统稳定性。
解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。 劳斯行列式为
5432s5 1 2 3 s4 1 2 5 s3 ??0 ?2 s2
12??2? 5
?4??4?5?2s
2??2s0 5
由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数ε来代替；第四行第一列
2
系数为（2ε+2/ε，当ε趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4ε－4－5ε）/（2ε+2），当ε趋于零时为?2。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。
3.5
解;在求解系统的稳态误差前必须判定系统是否稳定；
系统特征方程为0.1s?1.5s?5s?50?0由劳斯判据判断 劳斯行列式为
32s3 0.1 5 s2 1.5 50
5s1
3s0 50
由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。
G(s)?5010?可知v=1，K=10
s(0.1s?1)(s?5)s(0.1s?1)(0.2s?1)????
?ess????0???????????,?????????型系统???1?kpkvkak
??2r(t)?2t?e???????0.2 当 ， ss
当 r(t)?2?2t?t
2kvk10?ess??1?kp??kv??ka?0?2??????????,?????????型系统???10
自动控制原理C作业(第二章)答案
