第二章 控制系统的数学模型
2.1 RC无源网络电路图如图2－1所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数
Uc(s)/Ur(s)。
图2－1
解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：
U(s)?Z(s) I(s)如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。
(1) 用复阻抗写电路方程式：
I1(S)?[Ur(S)?UC1(S)]?Uc1(S)?[I1(S)?I2(S)]?
1R11C1s1I2(S)?[Uc1(S)?Uc2(S)]R2Vc2(S)?I2(S)?1C2s
(2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2－1（a）。
2－1（a）。
(3) 用梅逊公式直接由图2－1(a) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。
G?G?独立回路有三个：
K?K?
11?1 ??RC1SR1C1SL1??L2??11?1?? R2C2SR2C2S11?1??C1SR2R2C1S
L3??
回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则
1 L12?L1L2? 2R1C1R2C2S由上式可写出特征式为：
??1?(L1?L2?L3)?L1L2?1?通向前路只有一条
1111???
R1C1SR2C2SR2C1SR1C1R2C2S2G1?11111???? 2R1C1SR2C2SR1R2C1C2S由于G1与所有回路L1，L2， L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为
Δ1=1
代入梅逊公式得传递函数
1G1?1R1C1R2C2s2G??1111?1???? R1C1sR2C2sR2C1sR1C1R2C2s2 ?
2-2 已知系统结构图如图2-2所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。
1R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2?R1C2)s?1
图2－2
解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-2（a）所示。
（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-2（b）。 （3）最后将两个方框串联相乘得图2-2（c）。
图2-2 系统结构图的简化
2.3化简动态结构图,求C(s)/R(s)
图2－3
解： 单独回路1个，即
L1??G1G2G3
两个互不接触的回路没有 于是，得特征式为
??1??La ?1?G1G2G3
从输入R到输出C的前向通路共有2条，其前向通路传递函数以及余因子式分别为
P1?G1G2 ?1?1
P2?G2G4 ?2?1
因此，传递函数为
C(s)P1?1?P2?2?G2G1?G4G2? 1?G1G2G3R(s)?
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S) －＋G1(s) － _ + C(S) +
G 2(s) 图2－4
解： 单独回路5个，即
L1??G1L2?G1G2L3??G2L4??G1G2L5??G1G2
两个互不接触的回路没有
于是，得特征式为
??1??La ?1?G1?G2?G1G2P1?G1 ?1?1 P2?G2 ?2?1 P3?G1G2 ?3?1
从输入R到输出C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P4??G1G2 ?4?1
因此，传递函数为
??P2?2?P3?3?P4?4C(s)P?11 R(s)??
G1?G21?G1?G2?G1G2
2-5 试简化图2-5中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。
图2-5
解： 仅考虑输入R（S）作用系统时，单独回路2个，即
L1??G1G2L2??G1G2H1
两个互不接触的回路没有,于是，得特征式为
??1??La ?1?G1G2?G1G2H1P1?G1G2 ?1?1
因此，传递函数为
从输入R到输出C的前向通路共有1条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
C(s)P1?1? R(s)??G1G21?G1G2?G1G2H1
仅考虑输入N（S）作用系统时，单独回路2个，即
L1??G1G2L2??G1G2H1
两个互不接触的回路没有,于是，得特征式为
??1??La ?1?G1G2?G1G2H1
从输入N到输出C的前向通路共有2条，其前向通路总增益以及余因子式分别为
P1??1 ?1?1?G1G2H1 P2?G2G3 ?2?1
因此，传递函数为
C(s)P1?1?P2?2??1?G1G2H?G2G3?
1?G1G2?G1G2H1N(s)?
自动控制原理C作业(第二章)答案
