2009-2010学年第一学期《高等数学》试卷参考答案
一、1．A． 2．C． 3．A． 4．C． 5．C． 二、1．3． 2．100!． 3．
?x?39?2x 4．??,?． 5．C1?C2e?．
22?22?x三、1．limf(x)?limx?0x?03?e?tdt?3x?x3023x523e?x?3?3x21e?x?1?x2?lim?lim x?015x45x?0x4L2221?2xe?x?2x1e?x?11?； ?lim??lim32x?0x?01054x10xL2．limf(x)?lim??xsin??lim?lim2x?x???x????1?e2xx???x???x?1?e??2?ex1?2?exsin1xsin1x?2?1?1； 1x?0?1?1；
?2?e1?2?e?limf(x)?lim??xsin?lim?x???1?e2x?xlimx???x????1?e2x???1x??x由单侧极限与极限关系可得：limf(x)?1．
x??xx四、1．解：显然，y?1ln(x?x2?1)．由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得： 2y??11111， dy??(1??2x)?dx ，
22222x?x?12x?12x?12x?1111x． y???(?2)??2x??2232x?12x?12(x?1)2．解：当t?0时，x?0,y??1．由x?t(1?t)?0可得：
x?t2?t，xt?(0)?(2t?1)|t?0??1；
由te?y?1?0对t求导可得：e?teyt??yt??0，yt?(0)??e?1，由参量函数求导法可得：
yytdyy?(0)?t?e?1． dxt?0xt?(0)22t2dt 五、1．I?2?tarctantdt??arctantd(t)?tarctant??1?t2
?t2arctant?t?arctant?C?(t2?1)arctant?t?C
?(x?1)arctanx?x?C．
352．解：注意到sinx?sinx?sin3x(1?sin2x)?sin3x?|cosx|，
32?2242故 I??sinxcosxdx??sinxcosxdx?sin2x|0． ?sin2x|???555?022232?5?5??0,x?1,?x?六、解：（I）∵f?(x)?(1?x)e??0,x?1, ??0,x?1,? ∴f(x)??(??,1),f(x)??(1,??)，且极大值为fmax?f(1)?x（II）x?ae的实根个数?y?xe?x与y?a的交点个数．
1． ex???（(??)?(??)），
x???x???exxL1limf(x)?limx?limx?0， x???x???ex???e1可知 ① 当a?0或a?时，原方程只有一个实根；
e1 ② 当0?a?时，原方程有两个实根；
e1 ③ 当a?时，原方程没有实根．
e111x七、解：（I）∵y??,y?(0)?，∴切线方程为y?1?(x?e)，即y?．
xeee由（I）及limf(x)?limeeeee??1． A???lnxdx??[x(lnx?1)]|12221111e（II）V??e???ln2xdx??e??[xln2x|1??x?2lnx?dx]
33x1111e??e??(e?2?lnxdx)??e??[e?2x(lnx?1)|1] 3311e??e??(e?2)?2?(1?)． 33
eee
八、证：设F(x)?f(x)?x，则F(x)?C[0,1]，且F(0)?0,F()?① ∵F(x)?C[,1],F()?121,F(1)??1． 212121?0,F(1)??1?0， 2∴由零点定理可知：存在点??(,1)，使得F(?)?0． ② ∵F(x)?C[0,?],F(x)?D(0,?),F(0)?F(?)，
∴由罗尔定理可知：存在点??(0,?)?(0,1)，使得F?(?)?0，即f?(?)?1．
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合工大高数答案2009-1daan
