有=x﹣6,即x﹣6x﹣k=0. ∵要使两函数的图象没有交点,须使方程x﹣6x﹣k=0无解. 2∴△=(﹣6)﹣4×(﹣k)=36+4k<0, 解得k<﹣9. ∴当k<﹣9时,两函数的图象没有交点. 点评:本 题考查反比例函数与一次函数的交点问题,注意先代入一次函数解析式,求得两个函数的交点坐标.
70、(2013四川宜宾)如图,直线y=x﹣1与反比例函数y=的图象交于A、B两点,与x轴交于点C,已知点A的坐标为(﹣1,m). (1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P(n,1)是反比例函数图象上一点,过点P作PE⊥x轴于点E,延长EP交直线AB于点F,求△CEF的面积.
22
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
分析:(1)将点A的坐标代入直线解析式求出m的值,再将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值,继而得出反比例函数关系式;
(2)将点P的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P的横坐标,将点P的横坐标和点F的横坐标相等,将点F的横坐标代入直线解析式可求出点F的纵坐标,将点的坐标转换为线段的长度后,即可计算△CEF的面积.
解答:解:(1)将点A的坐标代入y=x﹣1,可得:m=﹣1﹣1=﹣2, 将点A(﹣1,﹣2)代入反比例函数y=故反比例函数解析式为:y=
k,可得:k=﹣1×(﹣2)=2, x2. x(2)将点P的纵坐标y=﹣1,代入反比例函数关系式可得:x=﹣2, 将点F的横坐标x=﹣2代入直线解析式可得:y=﹣3,
故可得EF=3,CE=OE+OC=2+1=3, 故可得S△CEF=
19CE×EF=. 22点评:本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,解答本题的关键是确定点A的坐标,
要求同学们能结合图象及直角坐标系,将点的坐标转化为线段的长度.
71、(2013济宁)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数y=>0)图象上任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B. (1)求证:线段AB为⊙P的直径; (2)求△AOB的面积; (3)如图2,Q是反比例函数y=
(x>0)图象上异于点P的另一点,以Q为圆心,QO
(x
为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D. 求证:DO?OC=BO?OA.
考点:反比例函数综合题. 分析:(1)∠AOB=90°,由圆周角定理的推论,可以证明AB是⊙P的直径; (2)将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来,容易计算出结果;
(3)对于反比例函数上另外一点Q,⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积,依然不变,与△AOB的面积相等. 解答:(1)证明:∵∠AOB=90°,且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角, ∴AB是⊙P的直径.
(2)解:设点P坐标为(m,n)(m>0,n>0), ∵点P是反比例函数y=
(x>0)图象上一点,∴mn=12.
如答图,过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,则OM=m,ON=n. 由垂径定理可知,点M为OA中点,点N为OB中点, ∴OA=2OM=2m,OB=2ON=2n,
∴S△AOB=BO?OA=×2n×2m=2mn=2×12=24. (3)证明:若点Q为反比例函数y=
(x>0)图象上异于点P的另一点,
参照(2),同理可得:S△COD=DO?CO=24,
则有:S△COD=S△AOB=24,即BO?OA=DO?CO, ∴DO?OC=BO?OA.
点评:本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识,难度不大.试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义.对本题而言,若反比例函数系数为k,则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k;对于另外一点Q所形成的⊙Q,此结论依然成立.
72、(2013?白银)如图,一次函数
与反比例函数
的图象相交于点A,且点A
的纵坐标为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)根据图象写出当x>0时,一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
考点:反 比例函数与一次函数的交点问题. 分析:( 1)一次函数是完整的函数,把点A的纵坐标代入即可求得M的坐标;然后把A的坐标代入反比例函数解析式,即可求得反比例函数的解析式; (2)根据交点A的坐标,即可得到当x>0时,一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围. 解答:解 :(1)点A在y=x﹣2上, ∴1=x﹣2, 解得x=6, 把(6,1)代入得 m=6×1=6. ∴y=; (2)由图象得,当x>6时,一次函数的值大于反比例函数的值. 点评:本 题考查用待定系数法求函数解析式;注意:无论是求自变量的取值范围还是函数值的取值范围,都应该从交点入手思考;同时要注意反比例函数的自变量不能取0. 73、(2013泰安)如图,四边形ABCD为正方形.点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(0,﹣3),反比例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点A,
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)求点P是反比例函数图象上的一点,△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求P点的坐标.
考点:反比例函数与一次函数的交点问题. 分析:(1)先根据正方形的性质求出点C的坐标为(5,﹣3),再将C点坐标代入反比例函数y=中,运用待定系数法求出反比例函数的解析式;同理,将点A,C的坐标代入一次函数y=ax+b中,运用待定系数法求出一次函数函数的解析式; (2)设P点的坐标为(x,y),先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,列出关于x的方程,解方程求出x的值,再将x的值代入y=﹣
,即可求出P点的坐标.
解答:解:(1)∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(0,﹣3), ∴AB=5,
∵四边形ABCD为正方形, ∴点C的坐标为(5,﹣3).
∵反比例函数y=的图象经过点C, ∴﹣3=,解得k=﹣15, ∴反比例函数的解析式为y=﹣
;
∵一次函数y=ax+b的图象经过点A,C, ∴解得
, ,
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2; (2)设P点的坐标为(x,y).
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,
2
∴×OA?|x|=5, ∴×2|x|=25, 解得x=±25. 当x=25时,y=﹣
=﹣;
当x=﹣25时,y=﹣=.
∴P点的坐标为(25,﹣)或(﹣25,).
点评:本题考查了正方形的性质,反比例函数与一次函数的交点问题,运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式,三角形的面积,难度适中.运用方程思想是解题的关键.
74、(2013?新疆)如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数B(﹣4,n)两点.
(1)分别求出y1和y2的解析式; (2)写出y1=y2时,x的值;
(3)写出y1>y2时,x的取值范围.
的图象交于A(2,4)、
考点:反 比例函数与一次函数的交点问题. 专题:计 算题. 分析:( 1)将A坐标代入反比例解析式中求出m的值,确定出反比例解析式,将B坐标代入反比例解析式求出n的值,确定出B坐标,将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,即可确定出一次函数解析式; (2)联立两函数解析式,求出方程组的解即可得到x的值; (3)由两函数交点坐标,利用图形即可得出所求不等式的解集. 解答:解 :(1)将A(2,4)代入反比例解析式得:m=8, ∴反比例函数解析式为y2=8, x, 将B(﹣4,n)代入反比例解析式得:n=﹣2,即B(﹣4,﹣2), 将A与B坐标代入一次函数解析式得:解得:, 则一次函数解析式为y1=x+2; (2)联立两函数解析式得:,