有关折弦定理的几个推论

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有关折弦定理的几个推论

作者：吴文龙

来源：《新课程·中旬》2016年第08期

摘 要：折弦时常应用于初中数学竞赛试题中，对数学竞赛的辅导与学习具有良好的作用，证明了著名的“阿基米德折弦定理”的逆定理及几个推论，以后可直接运用。 关键词：折弦；定理；推论

在同一圆上有公共点的两条弦组成一条折弦。折弦时常应用于初中数学竞赛试题中，对数学竞赛的辅导与学习具有良好的作用，值得研究和探讨。下面讨论几个有关折弦的命题。 命题1：如图，若弦AB、BC组成⊙O的一条折弦，BC>AB，D是弧ABC的中点，DE⊥BC，垂足为E，则E是折弦ABC的中点，即CE=BE+AB.

此命题即著名的“阿基米德折弦定理”。此命题的证明是不难理解的，有此定理的11种证法。

该定理常规的证明方法有以下几种： 阿基米德折弦定理证法1：补短法 如图，延长DB至F，使BF=BA ∵M是弧ABC的中点 ∴∠MCA=∠MAC=∠MBC ∵MBAC四点共圆 ∴∠MCA+∠MBA=180° ∵∠MBC+∠MBF=180° ∴∠MBA=∠MBF ∵MB=MB，BF=BA ∴△MBF≌△MBA ∴∠F=∠MAB=∠MCB