9、解 (1)由余弦定理知： a2＋c2－b2
cos B＝，
2aca2＋b2－c2
cos C＝. 2abcos Bb
将上式代入＝－得：
cos C2a＋ca2＋c2－b22abb·2＝－， 2aca＋b2－c22a＋c整理得：a2＋c2－b2＝－ac.
a2＋c2－b2－ac1∴cos B＝＝＝－.
2ac2ac2
2
∵B为三角形的内角，∴B＝π.
32(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋
3
c2－2accos B，
得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
?1???
∴13＝16－2ac?1－2?，∴ac＝3.
??
133
∴S△ABC＝acsin B＝. 24
10、解 (1)由题设并由正弦定理，得
?a＋c＝5，?41a＝1，????a＝4，?? 解得??ac＝14，
??c＝1 或?4??c＝1.
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝p2b2
－12b2－12b2cos B，
即p2
＝312＋2
cos B.
因为0 ??? 2，2??? ， 由题设知p>0，所以6 2 11、 解 (1)∵c＝2，C＝π 3 ， ∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C 得a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC的面积为3， ∴1 2 absin C＝3，ab＝4. 联立方程组??a2＋b2－ab＝4， ?ab＝4， 解得a＝2，b＝2. (2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A， 得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即2sin Bcos A＝2sin Acos A， ∴cos A·(sin A－sin B)＝0， ∴cos A＝0或sin A－sin B＝0， 当cos A＝0时，∵0 π ∴A＝，△ABC为直角三角形； 2 当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 12\\解：（Ⅰ）∵ A、B、C为三角形的内角， ∴ A?B?C??． A?B7?cos2C?22?∵ ∴ 4cos24sin2， 三角形中角的大小关系 C7?cos2C?22． …………2分 ∴ 4?1?cosC7?(2cos2C?1)?22．即 2cos2C?2cosC?1?0212． ……4分 ． 又∵ 0?C??∴ C?cosC? ， ∴ ?3． …7分 A?B?2?3（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．∴ sinA?sinB?sinA?sin(2??A)3 角度变换 ?sinA?sin33?2?2?cosA?3sin(A?)?cosA?cos?sinA?sinA?22633．… 10分 ∵ 0?A?2?3，∴ ?6?A??6?5?6． ?∴ 当A???，即 623 A??3时，sinA?sinB取得最大值为 ．…………13分
正余弦定理综合习题及答案
