板块一.对平面的进一步认识
典例分析
题型一 平面的基本性质
【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件． B．必要不充分条件．
C．充要条件． D．既不充分也不必要条件．
【难度】★ 【解析】 B；
【例2】 判断下面说法是否正确：
①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．
④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．
【难度】★★
【解析】 ①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一
个平面；
②正确，两条相交直线确定一个平面；
③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面；
④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形；
⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线；
⑥错误；若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确．
【例3】 若P是正方体ABCD?A1B1C1D1上底面对角线AC上一点，则B、D、P三点可以确定平面（ ）
A．1个 B．2个 C．无数个 D．1个或无数个
【难度】★★ 【解析】 答案：C
1
P是AC的中点，无数个；P不是AC的中点，1个．
【例4】 下列推理错误的是（ ）
A．A?l,A??,B?l,B???l??
B．A??,A??,B??,B????I??AB
C．A,B,C??,A,B,C??，且A,B,C不共线??,?重合 D．l??,A?l?A??
【难度】★★
【解析】 直线上有两点有一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A正确；
如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理2保证了Ｂ，Ｃ正确；直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故Ｄ错误．
【例5】 已知点A，直线l，平面?，
①A?l,l???A?? ②A?l,l???A?? ③A?l,l???A?? ④A?l,A???l?? 以上命题表达正确，且是真命题的有________．
【难度】★★★
【解析】 直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误；
直线是点集，故只能用l??，②错误；
直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确．
共线问题
【例6】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O，O1分别是上，下底的中心，P是DB1的中点，
则O、P、O1三点（ ）
A．不共面共线 B．共线 C．共面不共线 D．不共面
【难度】★★★ 【解析】 答案：B
连结BD、B1D1、BD1，在矩形BB1D1D中，易知O、P、O1三点共线．
【例7】 如图，已知在空间四边形ABCD中（即这四点不共面），E,F,G,H分别是AB、BC、
CD、AD上的点，且EH交FG于P．求证：P在直线BD上．
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AEDBHG FPC【难度】★★★
【解析】 ∵P?直线EH，∵P?平面ABD，
∵P?直线FG，∴P?平面BCD， ∴P?（平面ABD∩平面BCD）， 又BD是平面ABD与平面BCD的交线， ∴P?BD．
【例8】 在棱长为2的正方体ABCD?A'B'C'D'中，E,F分别是 AB,CC'的中点，过点
E,F,D' 的截面与正方体的下底面相交于直线l，
①请画出直线l的位置；
②设lIBC?G，求BG的长．
【难度】★★★
D'A'B'FC'DBC
【解析】 ①延长D'F交DC的延长线于M，连结EM，
如图所示，直线EM即为所求的截面与底面的交线．
D'A'B'C'AEFDGAEBCM
②因为F为CC'的中点，故CM?DC，
BGEB1又E点为AB的中点，故??，
GCMC212故BG?BC?．
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高考数学讲义空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识
