同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案11-8
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习题11?8
1? 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)?
(1)f(x)?1?x2(?1?x?1)?
22 解 因为f(x)?1?x2为偶函数? 所以bn?0(n?1? 2? ? ? ?)? 而 a0?2?2(1?x2)dx?4?2(1?x2)dx?11?
01/206 an?2?2(1?x2)cosn?xdx
1/201/2 ?4?1n?12(1?x2)cos2n?xdx?(?1)0n2?2111(n?1? 2? ? ? ?)?
由于f(x)在(??? ??)内连续? 所以
?(?1)n?1111cos2n?x? x?(??? ??)? f(x)??2?12?n?1n2??x ?1?x?0? (2)f(x)??1 0?x?1?
2???1 1?x?12? 解 an??f(x)dx??xdx???1?11010112dx?dx??11022??
an??f(x)cosn?xdx??xcosn?xdx???1?1112cosn?xdx?cosn?xdx 102?仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4
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?212[1?(?1)n]?2sinn? (n?1? 2? ? ? ?)?
n?2n? bn??f(x)sinn?xdx??xsinn?xdx???1?110112sinn?xdx?sinn?xdx 102? ??2cosn??1 (n?1? 2? ? ? ?)?
n?2n?而在(??? ??)上f(x)的间断点为x?2k? 2k?1? k?0? ?1? ?2? ? ? ??
2n?n?1?2cos?n2sin1?(?1)2]cosn?x?2sinn?x} 故 f(x)??1??{[22?4n?1n?n?n? (x?2k? x?2k?1? k?0? ?1? ?2? ? ? ?)?
2?2x?1 ?3?x?0 (3)f(x)???
1 0?x?3?303 解 a0?1?f(x)dx?1[?(2x?1)dx??dx]??1?
03?33?33031n?x1n?x an??f(x)cosdx?[?(2x?1)cosdx??cosn?xdx]
03?333?333 ?262[1?(?1)n](n?1? 2? ? ? ? )?
n?303 bn?1?f(x)sinn?xdx?1[?(2x?1)sinn?xdx??sinn?xdx]
03?333?333 ?6(?1)n(n?1? 2? ? ? ? )?
n?而在(??? ??)上? f(x)的间断点为 x?3(2k?1)? k?0? ?1? ?2? ? ? ??
?1故 f(x)????{262[1?(?1)n]cosn?x?(?1)n?16sinn?x}? 2n?1n?3n?3(x?3(2k?1)? k?0? ?1? ?2? ? ? ?)?
2? 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数?
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? x 0?x?l?2? (1)f(x)??l?l?x ?x?l2? 解 正弦级数?
对f(x)进行奇延拓? 则函数的傅氏系数为 a0?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)?
l4lsinn?(n?1? 2? ? ? ? ) bn?2[?2xsinn?xdx??1(l?x)sinn?xdx]?2l0ll2n?22?4l故 f(x)?2?12sinn?sinn?x? x?[0? l]?
2l?n?1n1 余弦级数?
对f(x)进行偶延拓? 则函数的傅氏系数为
l22 a0?[?xdx??1(l?x)dx]?l?
l022l an?2[?2xcosn?xdx??1(l?x)cosn?xdx]
l0ll2112l[2cosn??1?(?1)n] (n?1? 2? ? ? ? ) ?22n?2 bn?0(n?1? 2? ? ? ? )?
?l2l故 f(x)??2?12[2cosn??1?(?1)n]cosn?x? x?[0? l]? 4?n?1n2l (2)f(x)?x2(0?x?2)? 解 正弦级数?
对f(x)进行奇延拓? 则函数的傅氏系数为 a0?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)?
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2 bn?2?x2sinn?xdx?(?1)n?18?163[(?1)n?1]?
202n?(n?)故 f(x)??{(?1)n?18?163[(?1)n?1]}sinn?x
n?(n?)2n?1 ?8(?1)n?12[(?1)n?1]n?x? x?[0? 2)? {?}sin??n?1n2n3?2?? 余弦级数?
对f(x)进行偶延拓? 则函数的傅氏系数为
22 a0??x2dx?8
20322 an??x2cosn?xdx?(?1)n162(n?1? 2? ? ? ?)? 202(n?) bn?0(n?1? 2? ? ? ?)?
?(?1)n164n?x cos故 f(x)???3n?1(n?)22?(?1)n416 ??2?2cosn?x? x?[0? 2]?
3?n?1n2
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