综合仿真练(三)(理独)
1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答 A．[选修4－2：矩阵与变换]
?3 0?
设a，b∈R.若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝??对应的变换作用下，得到的直
?－1 b?
线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值．
解：法一：在直线l：ax＋y－7＝0上取点M(0,7)，N(1，7－a)，
?3 0??0?? 0??3 0??1?? 3 ?由????＝??，????＝??，可知点M(0,7)，N(1,7－a)?－1 b??7??7b??－1 b??7－a??b7－a－1?
在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M′(0,7b)，N′(3，b(7－a)－1)，
由题意可知：M′，N′在直线9x＋y－91＝0上，
??7b－91＝0，∴???27＋b7－a－1－91＝0，
??a＝2，
解得?
??b＝13，
∴实数a，b的值分别为2,13.
法二：设直线l上任意一点P(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x′，y′)，
?3 0??x??x′?
则????＝??， ?－1 b??y??y′?
??x′＝3x，∴?
?y′＝－x＋by，?
由Q(x′，y′)在直线l′：9x＋y－91＝0上， ∴27x＋(－x＋by)－91＝0， 即26x＋by－91＝0， ∵点P在ax＋y－7＝0上， 26b－91∴＝＝， a1－7解得a＝2，b＝13.
∴实数a，b的值分别为2,13. B．[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2020-2021·南通、泰州等七市三模)在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非5π??π??负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为?4，?，?22，?，曲线C2??4??的方程为ρ＝r(r>0)．
(1)求直线AB的直角坐标方程；
(2)若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．
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5π??π??解：(1)分别将A?4，?，B?22，?转化为直角坐标为A(0,4)，B(－2，－2)，
2?4???所以直线AB的直角坐标方程为3x－y＋4＝0.
(2)曲线C的方程为ρ＝r(r>0)，其直角坐标方程为x＋y＝r(r>0)． 因为直线AB和曲线C有且只有一个公共点，所以直线与圆相切， 因为圆心到直线AB的距离为210
所以r的值为.
5C．[选修4－5：不等式选讲]
已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，求证：b>a. 证明：∵b>0，a>0，∴要证b>a， 只要证aln b>bln a, ln bln a只要证>，
ababab2
2
2
210
＝， 22
53＋－1
4
baln x构造函数f(x)＝，x∈(e，＋∞)．
x1－ln x则f′(x)＝，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0在区间(e，＋∞)上恒成立， 2
x所以函数f(x)在x∈(e，＋∞)上是单调递减的， 所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)， 即
ln bln aab>，故b>a得证．
ba2．(2020-2021·苏州中学期初)甲、乙两名运动员站在A，B，C三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在A，B，C111
三处投中的概率均分别为，，.
234
(1)设X表示甲运动员投中的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率． 解：(1)根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝?1－?×?1－?×?1－?＝；
234
??
1??
??
1????
1?1?41?P(X＝1)＝×?1－?×?1－?＋?1－?××?1－?＋?1－?×?1－?×＝；
342423
1?
2?
1????
1??
???
1?3?
1????
1?1??
??
1??
111424
P(X＝2)＝××?1－?＋?1－?××＋×?1－?×＝；
423
11
23
??
1??
??
1?
?
111?342?
?
1144
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P(X＝3)＝××＝.
所以X的分布列为
112311424
X P 0 1 41 11 242 1 43 1 241111113所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
42442412(2)设Y表示乙运动员投中的个数，
11111
由(1)可知，P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝.
424424所以P(X＝2，Y＝3)
111
＝P(X＝3，Y＝2)＝×＝，
42496
P(X＝3，Y＝3)＝×＝12411
，
24576
13
所以P(X＋Y≥5)＝P(X＝2，Y＝3)＋P(X＝3，Y＝2)＋P(X＝3，Y＝3)＝. 57613
所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率为.
576
n3．设P(n，m)＝? (－1)Cnkkk＝0
mm＋k，Q(n，m)＝Cn＋m，其中m，n∈N.
n*
(1)当m＝1时，求P(n,1)·Q(n,1)的值；
(2)对?m∈N，证明：P(n，m)·Q(n，m)恒为定值．
n*
解：(1)当m＝1时，P(n,1)＝? (－1)Cnkkk＝0
1 1＋k1n1kk＋1
＝ (－1)Cn＋1＝， ?n＋1k＝0n＋1
又Q(n,1)＝Cn＋1＝n＋1，显然P(n,1)·Q(n,1)＝1.
n1
(2)证明：P(n，m)＝? (－1)Cnkkk＝0
mm＋k n－1
＝1＋? (－1)(Cn－1＋Cn－1)
kkk－1
k＝1
mm＋k＋(－1)
nmm＋n
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(江苏专用)2021高考数学二轮复习 综合仿真练(三) 理
