2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质
[学习目标] 1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质.
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 思考 指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1? 答 规定a大于0且不等于1的理由：
(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义.
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(2)如果a<0，如y＝(－2)x，对于x＝，，…时在实数范围内函数值不存在.
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(3)如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.
知识点二 指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1 图象 定义域：R 值域：(0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 在R上是增函数 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是减函数
题型一 指数函数的概念 例1 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 B
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x
＋1
＋
的指数是x＋1，不是自变
量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
反思与感悟 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件. 跟踪训练1 函数y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，求a的值. 2a2－3a＋2＝1，??
解 由题意得?a>0，
??a≠1，1
∴a的值为.
2
题型二 指数函数的图象
例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
1
解得a＝.
2
A.a＜b＜1＜c＜d C.1＜a＜b＜c＜d 答案 B
解析 方法一 在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大. 由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1. ∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二 如图，作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.
B.b＜a＜1＜d＜c D.a＜b＜1＜d＜c
反思与感悟 无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大. 跟踪训练2 如图，若0 答案 D 解析 0 例3 已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到： (1)y＝2x1；(2)y＝2x1；(3)y＝2x＋1； (4)y＝2x；(5)y＝2|x|. 解 (1)y＝2x(2)y＝2x －1 ＋1 －＋ － 的图象是由y＝2x的图象向左平移一个单位得到. 的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到. (3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到. (4)∵y＝2x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2x的图象. (5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象. 反思与感悟 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象变换： (1)平移变换：把函数y＝ax的图象向左平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝ax向右平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝ax －φ ＋φ － － 的图象；若 的图象；若向上平移φ(φ>0)个单位，则得到y ＝ax＋φ的图象；若向下平移φ(φ>0)个单位，则得到y＝ax－φ的图象.即“左加右减，上加下减”. (2)对称变换：函数y＝ax的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y＝ax的图象关于x轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y＝ax的图象关于原点对称；函数y＝a|x|的图象关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图象就是y＝ax－b在x轴上方的图象不动，把x轴下方的图象翻折到x轴上方. (3)一般的情形：①函数y＝|f(x)|的图象由y＝f(x)在x轴上方图象与x轴下方的部分沿x轴翻 － － 折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；②函数y＝f(|x|)的图象由函数y＝f(x)在y轴右方图象与其关于y轴对称的图象合并而成，简记为“右翻左，擦去左”. 跟踪训练3 (1)函数y＝|2x－2|的图象是( ) (2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________. 1 答案 (1)B (2)0＜a＜ 2 解析 (1)y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的. (2)当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(1)).由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解.当0＜a＜1时，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(2)).若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，由图象可知0＜1 2a＜1，所以0＜a＜. 2 题型四 指数型函数的定义域、值域 例4 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝21x-4；(2)y＝1－2x；(3)y＝??＋ ?1??2?x2?2x?3； (4)y＝4x＋2x1＋1. 解 (1)由x－4≠0，得x≠4， 故y＝21x-4的定义域为{x|x∈R，且x≠4}. 11又≠0，即2x-4≠1， x－4故y＝21x-4的值域为{y|y＞0，且y≠1}. (2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0， ∴y＝1－2x的定义域为(－∞，0]. 由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1， ∴y＝1－2x的值域为[0,1). (3)y＝???1??2?x2?2x?3的定义域为R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴???1??2?x2?2x?31?－4≤??2?＝16. ?1?又∵???2?x2?2x?3＞0， 故函数y＝??(4)定义域为R. ?1??2?＋ x2?2x?3的值域为(0,16]. ∵y＝4x＋2x1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2， 又2x>0，∴y>1，故函数的值域为{y|y>1}. 反思与感悟 1.对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. 2.求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)再转化为二次函数求值域. 跟踪训练4 (1)函数f(x)＝1－2x＋A.(－3,0] B.(－3,1] C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1] 1 的定义域为( ) x＋3
高中数学必修1教材《指数函数及其性质》教学设计
