[A.基础达标]
x2y2
1．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的线段的中点坐标是( )
42
25??4，7? ， A.?B.?33??33?21?－13，－11? －，? C.?D.2??33??2
y＝x＋1，??解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x1||，y1)||，(x2||，y2)||，中点为(x0||，y0)||，由?x2y2
??4＋2＝1，x1＋x242
代入消元整理得3x＋4x－2＝0||，Δ＝4＋4×6>0||，x1＋x2＝－||，所以x0＝＝－||，
323
1
y0＝x0＋1＝.
3
x2y2
2．已知直线l过点(3||，－1)||，椭圆C的方程为＋＝1||，则直线l与椭圆C的公共
2536
点的个数为( )
A．1 B．1或2 C．2 D．0
2
x2y232（－1）
解析：选C.把点(3||，－1)代入＋＝1得＋<1||，所以点(3||，－1)在椭圆
25362536
内部||，故直线l与椭圆有两个公共点．
x22
3．已知直线l：x－y＋m＝0与椭圆C：＋y＝1交于不同的两点A||，B||，且线段AB
2
5
的中点不在圆x2＋y2＝内||，则m的取值范围为( )
9
A．(－∞||，－1]∪[1||，＋∞)
2
2
B．[－3||，－1]∪[1||，3] C．[－1||，1]
D．(－3||，－1]∪[1||，3)
?x－y＋m＝0，
解析：选D.联立?2得：3x2＋4mx＋2m2－2＝0||，由Δ>0得m∈(－3||，3)||， 2
x＋2y＝2?4m
x1＋x2＝－，32m2mm
y＋y＝x＋m＋x＋m＝||，故AB中点坐标为(－||，)||，因为1212
3332m2－2
x1x2＝，
3
52mm5
AB中点不在圆x2＋y2＝内||，所以(－)2＋()2≥||，即m2≥1||，
9339
故m∈(－3||，－1]∪[1||，3)．
x2y2
4．直线y＝－3x与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)交于A、B两点||，以线段AB为直径的
ab
圆恰好经过椭圆的右焦点||，则椭圆C的离心率为( )
???
A.3 2
B.3－1
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3－1C. D．4－23
2
解析：选B.设A在y轴左侧||，其坐标设为A(x0||，－3x0)||，则B(－x0||，3x0)||，设
11
F1||，F2为椭圆的左、右焦点||，O为坐标原点||，则c＝|AB|＝
22（x0＋x0）2＋（－3x0－3x0）2＝2|x0|||，
所以F2(－2x0||，0)||，F1(2x0||，0)||，|AF2|＝23|x0|||，|AF1|＝2|x0|||，因为|AF1|＋|AF2|＝2a||，
c2|x0|
所以a＝(3＋1)|x0|||，所以e＝＝＝3－1.
a（3＋1）|x0|
x2y2
5．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离为( )
164
A．3 B.11 D．22
x2y2
解析：选C.易判断直线x＋2y－2＝0与椭圆＋＝1相交||，令与直线x＋2y－2＝
164
22xy
0平行的直线方程为x＋2y＋C＝0代入＋＝1||，化简整理得8y2＋4Cy＋C2－16＝0||，则
164
Δ＝16C2－32(C2－16)＝0||，C＝±42. 由图(图略)可知C＝42.切线x＋2y＋42＝0与直线x＋2y－2＝0间的距离为42＋2
5
＝10. C.10
x2y2
6．椭圆＋＝1的一个焦点为F1||，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上
123
||，那么点M的纵坐标是________．
32
解析：设M的纵坐标为y0||，F1为其左焦点||，则F1(－3||，0)||，可得P(3||，2y0)||，故
12
（2y0）23＋＝1||，解得y0＝±. 34
3
答案：± 4x2y22
7．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为||，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b||，
ab2
则k的值为________．
x2y2b2k2b2
解析：由题意知||，交点坐标为(b||，kb)||，代入2＋2＝1(a>b>0)得2＋2＝1||，所以
abab
b2c2
2
k＝1－2＝2||，
aa
2
所以k＝±e＝±.
22
答案：± 2
x2y268．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为||，过椭圆上一点M作直线MA||，MB分别
ab3
交椭圆于A||，B两点||，且斜率分别为k1||，k2||，若点A||，B关于原点对称||，则k1·k2＝________．
b2x2b2x212222
解析：设点M(x||，y)||，A(x1||，y1)||，B(－x1||，－y1)||，则y＝b－2||，y1＝b－2||，
aa
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y－y1y＋y1y2－y21b2c211
所以k1·k2＝·＝22＝－2＝2－1＝e2－1＝－||，即k1·k2的值为－.
aa33x－x1x＋x1x－x1
1
答案：－
3
9．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A||，B两点||，C是AB的中点||，若|AB|＝22||，OC的斜率为
2
||，求椭圆的方程． 2
解：法一：设A(x1||，y1)、B(x2||，y2)||，代入椭圆方程并作差得||， a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0. y1－y2y1＋y22而＝－1||，＝kOC＝||，
2x1－x2x1＋x2
代入上式可得b＝2a.再由|AB|＝1＋k2·|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22||，其中x1、x2是方
b－12b?2?2程(a＋b)x－2bx＋b－1＝0的两根||，故?a＋b?－4·＝4||， a＋b??
12
将b＝2a代入得a＝||，所以b＝||，
33x22y2
所以所求椭圆的方程是＋＝1.
33
?ax2＋by2＝1，
法二：由?得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
?x＋y＝1，
设A(x1||，y1)、B(x2||，y2)||， 则|AB|＝（k2＋1）（x1－x2）2 ＝2·
4b2－4（a＋b）（b－1）.
（a＋b）2
a＋b－ab
＝1. ①
a＋b
因为|AB|＝22||，所以设C(x||，y)||，则x＝a
y＝1－x＝||，
a＋b
x1＋x2b
＝||， 2a＋b
2a212x2
因为OC的斜率为||，所以＝.代入①||，得a＝||，b＝.所以所求椭圆的方程为2b2333
2
＋y2＝1. 3
2x2y2
10．已知离心率为的椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点M(6||，1)．
2ab
(1)求椭圆的方程；
8
(2)已知与圆x2＋y2＝相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A||，B||，O为坐标原点||，
3
→→
求OA·OB的值．
2||， 2
又椭圆C过点M(6||，1)||， 解：(1)因为e＝
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??a＝8，所以?解得?
b＝4.61?
＋＝1，?ab
22
2
2
a2－b21
＝，a22
x2y2
所以椭圆方程为＋＝1.
84
(2)设A(x1||，y1)||，B(x2||，y2)||，
2
当直线l的斜率不存在时||，l：x＝±6||，
3
2
则x1＝x2＝±6||，y1＝－y2||，
3
→→2
所以OA·OB＝x21－y1＝0. 当直线l的斜率存在时||， 设l：y＝kx＋m||， 由于l与圆相切得：
|m|22
＝||，
3k2＋1
所以3m2－8k2－8＝0.
将l的方程代入椭圆方程得： (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0||，
2m2－84km
所以x1＋x2＝－||，x1x2＝||，
1＋2k21＋2k2
3m2－8k2－8→→
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝0||，
1＋2k2→→
综上||，OA·OB＝0.
[B.能力提升]
1．已知点(m||，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上||，则2m＋4的取值范围是( ) A．[4－23||，4＋23] C．[4－22||，4＋22]
B．[4－3||，4＋3] D．[4－2||，4＋2] x2y2
解析：选A.该椭圆的标准方程为＋＝1||，故x∈[－3||，3]||，故m∈[－3||，3]||，
38
所以2m＋4∈[4－23||，4＋23]．
2．以F1(－1||，0)、F2(1||，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中||，离心率最大的椭圆方程是( )
x2y2x2y2A.＋＝1 B.＋＝1 20199822xyx2y2C.＋＝1 D.＋＝1 5432
x2y2
解析：选C.设椭圆方程为2＋2＝1(a>1)||，
aa－1
x2y2??a2＋a2－1＝1，由?
??x－y＋3＝0，
得(2a2－1)x2＋6a2x＋(10a2－a4)＝0||，
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由Δ≥0||，得a≥5||，
c15
e＝＝≤||，此时a＝5||， aa5
x2y2
故椭圆方程为＋＝1.
54x22x20
3．已知椭圆C：＋y＝1的两焦点为F1||，F2||，点P(x0||，y0)满足0<＋y2则|PF1|0<1||，22＋|PF2|的取值范围为________．
x20
解析：因为0<＋y20<1||，所以P(x0||，y0)在椭圆内部． 2
所以|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|<2a||，
即2≤|PF1|＋|PF2|<22.
答案：[2||，22)
4.如图所示||，在平面直角坐标系xOy中||，A1||，A2||，B1||，B2为x2y2
椭圆2＋2＝1(a>b>0)的四个顶点||，F为其右焦点||，直线A1B2与直
ab
线B1F相交于点T||，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点||，则该椭圆的离心率为________．
解析：设F(c||，0)||，则c2＝a2－b2.由题意||，得直线A1B2的方程为
xyxy2acb（a＋c）＋＝1||，直线B1F的方程为＋＝1.将两个方程联立||，解得T(||，)||，
c－b－aba－ca－c
b（a＋c）acx2y2
则M(||，)．又点M在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上||，
aba－c2（a－c）
（a＋c）2c2
所以＋＝1||，整理||，得c2＋10ac－3a2＝0||，即e2＋10e－3＝0||，22
（a－c）4（a－c）解得e＝27－5或e＝－27－5(舍去)．
答案：27－5
5．已知△ABC的周长为12||，顶点A||，B的坐标分别为(－2||，0)||，(2||，0)||，C为动点．
(1)求动点C的轨迹E的方程；
(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)||，使它们分别与曲线E交于两点||，求四点所对应的四边形的面积的最大值．
解：(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|||，所以动点C的轨迹是椭圆的一部分．因为a＝4||，c＝2||，所以b2＝12||，
x2y2
所以曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．
1612
(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)||， 记y＝kx与曲线E在第一象限的交点为(x0||，y0)||，
x2y248
y＝kx与＋＝1联立得x2||， 0＝16123＋4k2192k19233所以S＝4kx2||，因为k>0||，所以S＝≤163||，当且仅当＝4k||，即k＝0＝23k23＋4k
＋4kk
时||，等号成立．
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数学北师大版选修1-1 第二章1.2 椭圆的简单性质(二) 作业2
