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1.2函数及其表示
一、填空题
2
?1－x，x≤1，1)＝________. 1.设函数f(x)＝?2则f(x＋x－2，x>1，f(2)?
解析本题主要考查分段函数问题．正确利用分段函数来进行分段求值．
115?1?1)＝f??＝1－＝. ∵f(2)＝4，∴f(1616?4?f(2)15答案
16
x?2，x<0，
2.若函数f(x)＝?－x?－2，x>0，
x
则函数y＝f(f(x))的值域是________．
－f(x)
1??
－1，－?； 解析当x<0时，f(x)＝2∈(0,1)，故y＝f(f(x))＝－2∈?
2??
?1?－xf(x)
当x>0时，f(x)＝－2∈(－1,0)，故y＝f(f(x))＝2∈?，1?，从而原函数
?2?
1??1??
的值域为?－1，－?∪?，1?.
2??2??
?1?答案∪?，1?
?2?
1??1－2x
f(x)＝?
1??x
x≥0，x＜0，
3．设函数
若f(a)＝a，则实数a的值是
信达
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________．
12
解析 当a≥0时，1－a＝a，所以a＝.
23当a＜0时，＝a，所以a＝－1.
1
a2
答案 或－1
3
4．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的序号有________．
解析 由映射的定义，要使函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意． 答案 ②
5.下列函数中与函数y=x相同的是_______． ①y?(x)；②y?t；③y?x； 解析因为y?3t3?t?所以应天②. 答案②
1?1?2
x－?＝x＋2，则f(3)＝________. 6．已知f?
x?x?1??1?2?
解析 ∵f?x－?＝?x－?＋2，
x??x??
∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11. 答案 11
?2x＋a，x＜1，
7．已知实数a≠0，函数f(x)＝?
?－x－2a，x≥1，
23322x④y? x
若f(1－a)＝f(1＋a)，则
a的值为________．
解析 当1－a＜1，即a＞0时，a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋
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a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)．
当1－a＞1，即a＜0时，a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－3
(1－a)－2a，解得a＝－.
43
答案 －
48．若f(x)＝
log
1122x＋1
，则f(x)的定义域为________．
32
11
解析 因为log(2x＋1)＞0，所以0＜2x＋1＜1，解得－＜x＜0.
22?1?
答案 ?－，0?
?2?
?x2?bx?c?x?0?9.设函数f(x)=?若f(-3)=f(0),f(-1)=-2,则关于x的方程
2?x?0??f(x)=x的解的个数为______．
解析由f(-3)=f(0),f(-1)=-2可得b=3,c=0,从而方程f(x)=x等价于
?x?0??x?0??x?0???2?2x?f(x)?2x?3x?x??或?解?x?3x?x得到x=0或x=-2,从而得方程f(x)=x的解的个数为3. 答案3
?a，a－b≤1，10．对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝?
?b，a－b＞1.
设函数f(x)＝(x2－
2)?(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．
解析 当(x2－2)－(x－1)≤1时，－1≤x≤2，所以f(x)＝?x－2，－1≤x≤2，?
?x－1，x＜－1或x＞2，
2
f(x)的图象如图所示．
y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，即 方程f(x)＝c恰有两个解，由图象可知当c∈(－2，
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－1]∪(1,2]时满足条件． 答案 (－2，－1]∪(1,2]
11．对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界，若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－解析 因为a，b∈R＋，a＋b＝1，所以2
2a·
12
－的上确界为________． 2ab12?12?52ab5
?＋?＝＋＋≥＋＋＝(a＋b)·
2ab?2ab?2b2a2
bb59129129
＝＋2＝，所以－－≤－，所以－－的上确界为－. 2a222ab22ab2
9
答案 －
2
12．设函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝
1
fx，若f(1)＝－5，则
f(f(5))的值为________． 1
解析 令x＝1，f(3)＝
f1由f(x＋2)＝
1
1＝－.
5
fx得f(x＋4)＝
f1x＋2
＝f(x)，
所以f(5)＝f(1)＝－5，则f(f(5))＝f(－5)＝f(－1) ＝
f1－1＋2
＝
1f11＝－.
5
1
答案 －
513．设f(x)＝lg解析 f(x)＝lg
2＋x?x??2?
，则f??＋f??的定义域为________． 2－x?2??x?
2＋x2＋x有意义，则＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，∴－2＜x＜2. 2－x2－xx?－2＜＜2，?2?x??2?
对f??＋f??有意义，则??2??x?2
－2＜＜2?x?
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?－4＜x＜4，??
?x＜－1或x＞1.
∴－4＜x＜－1，或1＜x＜4. 答案 (－4，－1)∪(1,4) 二、解答题
3??
14．已知函数f(x)＝log2?x＋－a?的定义域为A，值域为B.
x??(1)当a＝4时，求集合A；
(2)当B＝R时，求实数a的取值范围．
x2－4x＋3x－1x－3
解析 (1)当a＝4时，由x＋－4＝＝＞0，
xxx3
解得0＜x＜1或x＞3，故A＝{x|0＜x＜1或x＞3}．
3
(2)若B＝R，只有u＝x＋－a可取到一切正实数，则x＞0及umin≤0，∴umin＝23
x－a≤0. 解得a≥23.
实数a的取值范围为[23，＋∞)． 15．已知函数f(x)＝
2a＋1
a－1
a2x，常数a＞0.
(1)设m·n＞0，证明：函数f(x)在[m，n]上单调递增；
(2)设0＜m＜n且f(x)的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围． 解析(1)证明 任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，则 1x1－x2f(x1)－f(x2)＝2·. ax1x2
因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[m，n]上单调递增．
(2)因为f(x)在[m，n]上单调递增，
f(x)的定义域、值域都是[m，n]?f(m)＝m，f(n)＝n，即m，n是方程
2a＋1
a－
1
a2x＝x的两个不等的正根?a2x2－(2a2＋a)x＋1＝0有两个不等的正根．
信达
人教A版数学必修一1.2 函数及其表示
