j
d2=0.6×20+0.4×0= 12 d3=0.6×14+0.4×3= 9.6 故选方案A1。 （四）后悔值法
首先按公式hij=max{rij}-rij （i=1，?，m；j=1，?，n）计算后悔值，结 j
果如下表： 第六章——6 * i
j
根据表中数据有：h=min{max{hij}}=11，因此，按此方法应选方案A1。 （五）等可能准则
因为自然状态只有三个，按各自然状态出现的概率均为1/3来计算各方案的期望损益值，有
131
ER(A1)=∑r1j=(36+14-8)=14 3j=13 1
ER(A1)=(20+16+0)=12
31
ER(A1)=(14+10+3)=9 3
故应选方案A1。
综上所述，对于非确定性决策问题，采用不同的决策方法所得结果可能会不同，而且也难以判断各方法的优劣。之所以这样，是因为这些方法之间没有一个统一的评判标准。因此，实际应用中选择何种方法，取决于决策者对自然状态所持的主观态度。若态度悲观，则选用悲观法；若重视机会，则采用后悔值法；若认为各状态出现的机会相等，则可采用等可能准则。
第三节 风险分析
为了提高决策的客观性，决策者通常需要对决策所面临的自然状态所出现的概率进行统计分析。此时，决策者虽然知道自然状态出现的概率，但仍然不知道哪种自然状态肯定会出现，因此决策仍然具有一定的风险。所以这种条件下的决策称为风险决策。
本章例6.1中，为了获得每月牛奶不同需求量的概率，食品对过去20个月的牛奶需求进行了统计，结果如下表。
第六章——7
这样，就得到如下表所示的决策信息（风险决策表）。
一、最大可能准则
由概率论的知识可知，一个事件的概率越大，则该事件发生的概率就越大。最大可能准则就是在风险决策的情况下，选择一个概率最大的自然状态进行决策，而不考虑其它自然状态，这样，就将风险决策问题变成了一个确定性的决策。 该准则的数学描述如下：
P(Sk)=max{P(Sj)} j
r*=max{rik} i
则r*所对应的方案为所选方案。
例6.4 用最大可能准则对表6—8所表述的问题进行决策。 P(S3)=max{P(Sj)}=0.5 j
r*=max{ri3}=r33=162 i
故应选方案A3。 第六章——8
显然，此方法简单易行，且应用较广。但要注意的是，该方法适用于有一个自然状态的概率明显大于其它状态的概率，且收益矩阵中的元素相差不大的情况。当各自然状态的概率相差不大时，不宜使用该方法。 二、期望值准则 （一）最大期望收益准则
最大期望收益准则就是先计算各方案的期望收益值，然后加以比较，期望收益最大值所对应的方案为最优方案。其数学描述为
ER(Ai)=∑P(S j=1
inj)?riji=1, ,m ER(Ak)=max{ER(Ai)} 则方案Ak为最优方案。
例6.5 用最大期望收益准则对表6—8所表述的问题进行决策。 解：各方案的期望收益值计算如下
ER（A1）=0.1×150+0.3×150+0.5×150+0.1×150=150.0（元） ER（A2）=0.1×134+0.3×156+0.5×156+0.1×156=153.8（元） ER（A3）=0.1×118+0.3×140+0.5×162+0.1×162=151.0（元） ER（A4）=0.1×102+0.3×124+0.5×146+0.1×168=137.2（元） ER(A2)=max{E(Ai)}=153.8（元） i 故方案A2为最优方案。 （二）期望损失准则
最小期望损失准则就是先计算各方案的期望损失值，然后加以比较，期望损失最小值所对应的方案为最优方案。其数学描述为
EL(Aj)=∑P(Sj)?hij j=1
ini=1, ,m EL(Ak)=min{EL(Ai)} 则方案Ak为最优方案。
式中hij为在状态为Sj下作出决策为Ai的机会损失。
例6.6 用最小期望损失准则例6.1所描述的决策问题进行决策。由于有了各状态的出现概率，对照表6—2有如下决策表。
第六章——9
解：各方案的期望收益值计算如下 EL（A1）=0.1×0+0.3×6+0.5×12+0.1×18=9.6（元） EL（A2）=0.1×16+0.3×0+0.5×6+0.1×12=5.8（元） EL（A3）=0.1×32+0.3×16+0.5×0+0.1×6=8.6（元） EL（A4）=0.1×48+0.3×32+0.5×16+0.1×0=22.4（元） EL(A2)=min{E(Ai)}=5.8（元）
i
故方案A2为最优方案，与最大期望收益准则所得结论相同。
可以证明，对于同一问题，用最大期望准则和最小期望损失准则进行决策，其结果是完全相同的。具体如下 由于 hij=max{rij}-rij i
i=1, ,m;j=1, ,n EL(Ai)=∑P(Sj)hij j
=∑P(Sj)[max{rij}-rij] j ii
=∑P(Sj)max{rij}-∑P(Sj)rij
j j
=∑P(Sj)max{rij}-ER(Ai) j i
对于某一具体的问题，∑P(Sj)max{rij}=K为常数，因此，当ER（Ai）为 j i
最大时，EL（Ai）必为最小。
三、决策树法
决策树法就是用一种树状的网络图形（即决策树）进行决策分析，其决策准则是期望值准则，这就是决策树法。决策树法不仅直观形象、思路清晰，而且能很好 第六章——10
地解决较为复杂的风险决策问题，例如多级决策问题。 （一）决策树法步骤
为了说明决策树法的决策过程，我们用决策树法对例6.2所提出的问题进行决策。决策收益及各状态的概率如表6—10
运筹学 第6章 决策分析汇总
