（2）过F1作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点（点A在第二象限），M,N是椭圆上位于直线l两侧的动点，若?MAB??NAB，求证：直线MN的斜率为定值.
x2y2【答案】（1）（2）证明见解析. ??1；
43【解析】（1）由题意可得：又
c1?且bc?3 a2a2?b2?c2得：a2?4，b2?3，c2?1
x2y2?椭圆C的方程为??1
43（2）证明：由（1）可得：直线l：x??1，A??1,? 设直线MN的方程为y?kx?m，代入椭圆方程 消y可得3?4k??3?2??2?x2?8kmx?4m2?12?0
设M?x1,y1?，N?x2,y2?，则??484k?m?3?0
22??8km4m2?12 则x1?x2??，x1x2?3?4k23?4k233y2??0 2?2?0 ?x1?1x2?1y1??MAB??NAB ?kAM?kAN即?kx1?m???3?3??x?1?kx?m????2?2??x1?1??0 2?2??2k?4m2?12??3?3?8km??2kx1x2??m?k???x1?x2??2m?3??m?k??2m?3?0化简可得???222?3?4k2?3?4k???2k?1??2m?2k?3??0
1?k??或2m?2k?3?0
2当2m?2k?3?0时，直线MN的方程为y?k?x?1??则直线MN经过点A??1,?，不满足题意
3 2??3?2?
11?k??，即直线MN的斜率为定值?
22【评析】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定值问题的求解.对于定值问题，关键是能够通过已知条件建立起与参数有关的等量关系式，通过整理化简将关系式变为恒等式，或通过消元得到所求定值.
【命题专家现场支招】
（一）立足概念，返璞归真-----重视挖掘图形的几何特征，善于运用圆锥曲线的定义
数形结合思想为指导，把定量的计算与定性的分析（图形的几何性质）有机结合，可简化计算量．圆锥曲线的定义是根本，利用定义解题是高考的一个重要命题点．圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，也是问题研究的基础，正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．已知圆锥曲线上的点以及焦点，应考虑使用圆锥曲线的定义．
x2y2【例14】【2015重庆理21】如图所示，椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线
ab交椭圆于P，Q两点，且PQ?PF1．
（1）若PF1?2?2，PF2?2?2，求椭圆的标准方程． （2）若PF1?PQ，求椭圆的离心率e．
yPF1OF2Q
xx2【答案】（1）?y2?1．（2）6?3.
4【解析】（1）由椭圆的定义2a?PF1?PF2?2?2?2?2?4，故a?2． 设椭圆的半焦距为c，由已知PF2?PF1， 因此2c?F1F2?PF1?PF222?????(2?2)2?(2?2)2?23，即c?3，从而b?a2?c2?1．故所求椭圆的
x2标准方程为?y2?1．
4（2）如图所示，连接QF1，由椭圆的定义，PF1?PF2?2a，QF1?QF2?2a，
从而由PF1?PQ，有QF1?4a?2PF1．又由PF1?PQ，PF1?PQ，知QF1?2PF1， 因此，4a?2PF1?2PF1，得PF1?2(2?2)a． 从而PF2?2a?PF1?2a?22?2a?2???2?1a．
?2222由PF2?PF1，知PF1?PF2?F1F2??2c?，
因此e?c?aPF1?PF22a22??2?2??2?2?1?2?9?62?6?3．
【评析】1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．
2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，抛物线的焦点是在x轴的正半轴、负半轴，还是y轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a2、b2、p的值（基本量法），最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
3．求解离心率的时候，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a、c的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．
（二）利用图形，巧妙转化------实现几何条件代数化．
1. 解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．
2. 怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．
2【例15】（2024·新疆高三月考）已知抛物线C：y?2px(p?0)的焦点F，点M(x0,66)?x0???p??是抛2?物线上一点，以M为圆心的圆与直线x?物线C的方程为（ ）
p5交于A、B两点（A在B的上方），若sin?MFA?，则抛
72
A．y2?4x 【答案】C
B．y2?8x C．y2?12x D．y2?16x
【解析】抛物线C：y?2px(p?0)， 其焦点F?2p?p?,0?，准线方程x??，
2?2?因为点Mx0,66?x0?所以MF?x0?????p??是抛物线上一点， 2?p 2AB所在直线x?p， 2p， 2设MD?AB于D，则MD?x0?p5MD52?5 ?，即因为sin?MFA?，所以
p77MF7x0?2x0?整理得x0?3p，所以M3p,66 将M点代入到抛物线方程，得66????2?2p?3p，p?0，解得p6，
所以抛物线方程为y2?12x，故选：C.
【评析】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程.首先应该根据抛物线的定义，表示出MF，再表示出MD，利用sin?MFA?5，得到x0和p之间的关系，将M点坐标，代入到抛物线7
中，从而解出p的值，得到答案.
（三）巧用平几，事半功倍------关注平面几何知识方法与性质在问题转化中的应用，关注几何图形（特别是三角形）相关方法在运算中的应用．
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．
提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．
【例16】（2024·吉林高三月考）抛物线C:y?4x的焦点为F，点P、Q、R在C上，且?PQR的重心为F，则PF?QF的取值范围为（ ）
2?9??9??9??9??9?3,,54,,53,4A．? B．? C．???4,? ???????2??2??2??2??2?【答案】A
D．3,5
??【解析】由题意知，抛物线C的焦点为F?1,0?，设点P?xP,yP?、QxQ,yQ、R?xR,yR?，
???xP?xQ?xR?1??3由重心的坐标公式得?，?xR?3??xP?xQ?，yR???yP?yQ?，
?yP?yQ?yR?0?3?设直线PQ的方程为x?ky?m，由??x?ky?m2，消去x得y?4ky?4m?0， 2?y?4x??16k2?16m?16?k2?m??0，
由韦达定理得yP?yQ?4k，yPyQ??4m，
所以，xP?xQ??kyP?m??kyQ?m?kyP?yQ?2m?4k?2m，
2????故xR?3?xP?xQ?3?4k?2m，yR??yP?yQ??4k，
??2??
冲刺2024届高考数学存在问题之解决专题05 解析几何(解析版)
