?y?k(x?1),消去x得ky2?4y?4k?0，由△?16?16k2?0，得k?1，所以y2?4x联立，得?2?y?4x,?AKA1??4AFKA1是正方形，，A点坐标为(1,2)，所以|AF|?AA1?A1K?|KF|?2，此时四边形
AB?x轴，所以|AK|?|BK|?22,|AK|?|BK|?42.故选：D
【评析】1.抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.
2.研究圆锥曲线问题时，注意养成优先站在“观察发现动点运动变化过程中不变的几何关系”的角度探究问题的意识；养成“定义”的应用意识，注意利用圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系，选择简便的方法实现几何条件与数量关系的灵活转化． （四）几何条件与数量关系的转化欠灵活
解析几何就是用代数的方法研究几何问题．2017年起，选考部分删除《平面几何选讲》，并不意味着消弱这方面的要求，而是完全可以在三角、解几、立几、向量等试题中实现对平几的考查功能. 在解几试题中，对题目所给的几何条件何时代数化、如何代数化（坐标化）很值得研究，充分运用几何直观、使用几何推理，可以有效减少运算的繁杂程度． 【例8】【2018年全国卷Ⅲ理】直线上，则A.
面积的取值范围是 B.
C.
D.
分别与轴，轴交于，两点，点在圆
【答案】A 【解析】 直线
分别与轴，轴交于，两点，
,则，点P在圆
0）上，圆心为（2，，则圆心到直线距离
的距离的范围为
，则
，故点P到直线
，故答案选A.
【评析】本题呈现多的是“数量关系”，但结合几何图形可推断知道，此三角形的“底边长”确定，面积的最大（小）值取决于三角形的“高”，故需求得圆心到直线的距离.
bx2y2【例9】（2020·浙江高三期末）已知双曲线C：2?2?1?a,b?0?的右焦点F?c,0?关于直线y?x的
aaba2对称点在直线x??上，则该双曲线的离心率为______.
c【答案】3 【解析】如图：
，
由已知点F到渐近线y?bcb?b，由对称性可得BF?2AF?2b， x的距离AF?22aa?bcb?OFAF?由题得RtOAFRtBDF，所以，即2ba2，
c?BFDFcc整理得c2?3a2，故e??3，故答案为：3 a【评析】本题考查双曲线的离心率的求解，关键是要根据题目条件找到a,b,c之间的等量关系.本题需先求出点F到渐近线y?双曲线的离心率.
大凡两直线上的交点或者动点问题，代数上多结合几何条件或设点或列方程，进而用方程思想求解问题，而求离心率，多是从几何图形中抽象相关性质并转化为a,b,c有关的等量关系或是方程（组）．
建议必须依题构图，结合曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加
bx的距离，在利用RtOAFaRtBDF，得
OFAF?，代入数据整理计算即可得BFDF
以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．
（五）缺乏对算法、算理、算式的分析，灵活地选择算法以简化运算的意识有待加强
有效运算、简便运算是求解解析几何问题必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程、如何整体代换、如何化简等．
x2y2【例10】（2020·重庆一中高三期末）若点O和点F分别为椭圆??1的中心和左焦点，点P为椭圆上
43点的任意一点，则OP?FP的最大值为 A．2 【答案】C
【解析】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)， (x0＋1，y0)＝x0＋x0＋y0 则OP?FP＝(x0，y0)·
22B．3 C．6 D．8
x02y02∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
431x02x02∴OP?FP＝x0＋x0＋3(1?＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2. )＝
4442∵－2≤x0≤2.
∴OP?FP的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
y2【例11】（2020·云南昆明一中高三期末）已知P是双曲线x??1右支上的一点，M,N分别是圆
152(x?4)2?y2?9和(x?4)2?y2?1上的点，则|PM|?|PN|的最大值是___________.
【答案】6.
y2【解析】双曲线x??1,P是双曲线右支上的一点所以PF1?PF2?2a?2
152双曲线的两个焦点分别为??4,0?,?4,0?,则这两点刚好是两圆(x?4)?y?9和(x?4)?y?1的圆心,
2222则两个圆的半径分别为r1?3,r2?1 所以由几何性质可知PMmax?PF1?r1?PF1?3
同理PNmin?PF2?r2?PF2?1 所以|PM|?|PN|的最大值即为PMmax?PNmin??PF1?3???PF2?1?
?PF1?PF2?4?2?4?6
所以|PM|?|PN|的最大值为6.故答案为:6
【评析】本题考查了双曲线的标准方程及定义的应用,圆的标准方程及点与圆距离的最值问题.本题应根据双曲线方程可知,双曲线的两个焦点刚好是两个圆的圆心. 若PM?PN取最大值,则只需PM即可.由双曲线定义及点与圆的位置关系即可求解.
建议不能只是谈思路方法，应通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换结果中的参数即可．
max?PNminx2y23【例12】（2020·湖南长沙一中高三月考）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，与x轴交于
ab2 点A1，A2，过x轴上一点Q引x轴的垂线，交椭圆C于点P1，P2，当Q与椭圆右焦点重合时，PP12?1．（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线A1P是否存在定点M和N，使??PM|?|PN??为定值．若存在，求M、1与直线A2P2交于点P，
N点的坐标；若不存在，说明理由．
x2【答案】（1）?y2?1（2）存在，M为(?5,0)，N(5,0)．
4?c3?a?2????a2【解析】（1）由题知：?2，解得?b?1，
?2b?1??c?3??ax2故椭圆C的方程为?y2?1．
4（2）设P点坐标为?xP,yP?，P1?x0,y0?，P2?x0,?y0?， 不妨设A1(?2,0)，A2(2,0)．
则P，P1，A1三点共线，
yPy0?，①
xP?2x0?2同理：
yP?y0?，②
xP?2x0?222yP?y0?2， ①?②得：2xP?4x0?4又P1在椭圆上，y0?2124?x0， ??42xP2代入整理得：?yP?1．
4x2即P点的轨迹为双曲线?y2?1，
4取M、N为该双曲线的左、右焦点． 即M(?5,0)，N(5,0)．
此时||PM|?|PN||?4为定值，故M为(?5,0)，N(5,0)．
【评析】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交的定值问题．本题解法是求出动点P的轨迹方程，由轨迹方程确定图形为双曲线，由双曲线定义可得结论．
222在第（1）中PP12是椭圆的通径，由此已知条件可表示为a,b,c的两个等式，结合a?b?c可求得a,b，
得椭圆方程；在第（2）中设P点坐标为?xP,yP?，P不妨设A1(?2,0)，A2(2,0)．P1?x0,y0?，P2?x0,?y0?，在直线A1P同理由P在直线A2P2又得一关系式，消去x0,y0可得P点轨迹方程，1可得xP,yP,x0,y0的关系，轨迹是双曲线，由双曲线定义可作答．
（六）缺乏参数的选择与解题过程中的优化意识
解答解析几何试题中，经常需要设元引参，但选择什么作为参数对问题解决的难度，影响很大.
1x2y2【例13】（2020·湖南高三期末）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，左、右焦点分别是F1,F2，
2ab椭圆C上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3； （1）求椭圆C的方程；
冲刺2021届高考数学存在问题之解决专题05 解析几何(解析版)
