答：BC的长为4．
27．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点G是BC的中点， ∴AG＝BG＝GC， ∴∠ABG＝∠BAG， 又∵BD⊥AG，
∴∠BAG+∠DAF＝∠ADF+∠DAF＝90°， ∴∠ADB＝∠BAG， ∵
，
∴∠ADB＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE，
（2）∵⊙O是△ABD的外接圆，且∠BAD＝90°， ∴BD是直径， ∵DM是⊙O切线， ∴DM⊥BD，且BD⊥AG， ∴DM∥AG， ∴∵∴
＝，
，
设CD＝3k，AC＝4k， ∴AD＝k，
∵∠BDA＝∠ABC，∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴
，
∴AB2＝AD?AC＝4k2， ∴AB＝2k， ∴tan∠ABC＝
；
＝
＝2，
（3）∵DF＝1，tan∠ABC＝tan∠ADF＝tan∠BAF＝
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∴AF＝2，BF＝4， ∴AB＝∴AC＝4∴BC＝∴BG＝5，
28．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2，
将点B（﹣5，9）代入y＝a（x+2）2中，得，9＝a（﹣5+2）2， ∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2＝x2+4x+4；
（2）①如图①，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+4x+4， ∴C（0，4）， ∵B（﹣5，9），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 过点A作AH∥y轴，交直线BC于H， ∵A（﹣2，0）， ∴H（﹣2，6），
∴S△ABC＝AH×（xC﹣xB）＝×6×5＝15， ∵S△PAB＝S△ABC， ∴S△PAB＝×15＝3， ∵A（﹣2，0），B（﹣5，9）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣3x﹣6 设点P（p，p2+4p+4）， ∴G（p，﹣3p﹣6），
∴S△PAB＝[﹣3p﹣6﹣（p2+4p+4）]×（﹣2+5）＝3， ∴p＝﹣3或p＝﹣4， ∴P（﹣3，1）或（﹣4，4）；
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＝
，
＝
＝2，
＝10，
②如图②，
∵BD⊥x轴，且B（﹣5，9）， ∴D（﹣5，0），
设直线BN的解析式为y＝k（x+5）+9①， 令y＝0，则k（x+5）+9＝0， ∴x＝﹣
＝﹣5﹣，
∴N（﹣5﹣，0）， ∴DN＝﹣5﹣+5＝﹣， ∵点A（﹣2，0），
∴设直线AM的解析式为y＝k'（x+2）②， 当x＝5时，y＝﹣3k'， ∴M（﹣5，﹣3k'）， ∴DM＝﹣3k'， 联立①②得
，
解得，，
∴P（﹣2﹣2×，﹣3k'×），
∵点P在抛物线y＝（x+2）2上， ∴（﹣2﹣3×∴
∴k＝k'﹣3，
∴DN（DM+DB）＝﹣（﹣3k'+9）＝27×（k'﹣3）＝27××k＝27； 即：DN（DM+DB）为定值27．
，
+2）2＝﹣3k'×
，
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2024-2024学年江苏省苏州市常熟市九年级（上）期末数学试卷
