Gronwall不等式的推广及其应用
摘要：本文主要研究了Gronwall不等式的性质,将Gronwall积分不等式中的非负常数K推广为非负变量函数f(t);利用Gronwall积分不等式建立了函数矩阵中的一个Gronwall型积分不等式,并由此证明了一阶微分方程及一类函数矩阵微分方程解的唯一性. 关键词：Gronwall不等式;一阶微分方程;函数矩阵微分方程.
The Promotion and Application of Gronwall Inequality
Abstract：In this paper，we study the property of Gronwall inequality, and get a new inequality about Gronwall inequality instead K with f(t). Furth more, we get another Gronwall inequality in functional matrix. Finally, we get the uniqueness of solution in some First order differential equation and Function matrix differential equation.
Key word: Gronwall inequality; First order differential equation; Function matrix differential equation
目 录
1. 前 言 ?????????????????????????????????1 2. Gronwall不等式证明 ??????????????????????????1 3. Gronwall不等式的推广 ?????????????????????????2
3.1非负变量下的Gronwall不等式????????????????????2 3.2函数矩阵范数的Gronwall不等式???????????????????3 4. Gronwall不等式的应用 ?????????????????????????4
4.1一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性问题 ??????5
4.2函数矩阵微分方程解的唯一性????????????????????6
Gronwall不等式的推广及其应用
1. 前言
在数学中,Gronwall不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数,有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式.Gronwall不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围.比如,它可以用来证明初值问题的解的唯一性. Gronwall不等式的微分形式首先由Gronwall在1919年证明.而积分形式则是由Richard Bellman在1943年证明.Gronwall是一位瑞典的数学家,后来移居美国.由于本文只介绍Gronwall不等式的积分形式,故其微分形式再不做介绍.本文用两种不同的方法证明了Gronwall不等式,并给出两个相关的结论.最后给出Gronwall不等式在常微分方程中的应用.
2．Gronwall不等式的证明
定理 2.1(Gronwall不等式) 设K为非负常数,f(s)和g(s)为在??t??上的连续非负函数,且满足不等式f(t)?K+?f(s)g(s)ds ,则有
?t f(t)?Kexp(?g(s)ds),??t??.
?t证明 方法一:
设R(t)??f(s)g(s)ds,则f(t)?K?R(t).用g(t)乘不等式的两边得
?t f(t)g(t)?Kg(t)?R(t)g(t),
即
R?(t)?Kg(t)?R(t)g(t),
再用exp(??g(s)ds)乘上式两边,得
?texp(??g(s)ds)R?(t)?Kg(t)exp(??g(s)ds)?R(t)g(t)exp(??g(s)ds),
???ttttexp(??g(s)ds)R?(t)?R(t)g(t)exp(??g(s)ds)?Kg(t)exp(??g(s)ds),
???tt1
??tt?????R(t)exp(???g(s)ds)???K?exp(???g(s)ds)?, ????两边从?到t积分,R(t)exp(?g(s)ds)?K[1?exp(?g(s)ds)], 并由f(t)?K?R(t),得
tt??t??t[f(t)?K]exp(??g(s)ds)?K[1?exp(??g(s)ds)],
??所以 f(t)?Kexp(g(s)ds),??t??.
??t方法二:
(a)当K?0时,由条件不等式得
f(t)g(t)K??f(s)g(s)ds?tt?g(t),两边从?到t积分,
得 ln(K??f(s)g(s)ds)?lnK??g(t)dt.
??t由上式和条件不等式知 f(t)?Kexp(?g(s)ds),??t??.
?t(b)当K?0时,这时条件不等式变为f(t)??f(s)g(s)ds,结论变为f(t)?0,??t??.
?t事实上,对???0,成立f(t)????f(s)g(s)ds,从而由(a)可知,
?t f(t)??exp(?g(s)ds),??t??.
?t而由?得任意性可知 f(t)?0,??t??.
综合(a)、(b)可知 f(t)?Kexp(?g(s)ds),??t??.
?t推论 若K?0,f(s)和g(s)为在??t??上的连续非负函数,且满足不等式
f(t)??f(s)g(s)ds ,则有
?t f(t)?0,??t??.
3．Gronwall不等式的推广
2
3.1 非负变量下的Gronwall不等式
在上述讨论中,“非负常数K”这个条件可以放宽,下将K改为非负函数f(t),可得如下结果：
定理3.1 设f(t),h(t)为[0,?)上的连续非负函数,满足
g(t)?f(t)??tg(s)h(s)ds,t?0:f?(t)?0:??00h(t)dt?A,且小于无穷.
则：g(t)?eAf(t),t?0.
证明：由题意可知：
g(t)?f(t)??t0g(s)h(s)ds, (1) F(t)??t0g(s)h(s)ds,给(1)两边乘以h(t)可得
g(t)h(t)?f(t)h(t)?h(t)F(t) ,
所以有 F(t)exp(??th(s)ds)??tf(s)h(s)exp(??s0o0h(t)dt)ds
?f(0)?f(t)exp(??th(s)ds)??texp(??s000h(t)dt)f?(s)
?f(0)exp(?th(s)ds)?(?texp(??th(s)ds)f?(s)ds)exp(?t0000h(s)ds) ?f(0)exp(?th(s)ds)??tf?(s)dsexp(?t000h(s)ds)
?f(t)exp(?t0exp(h(s)ds))
?f(t)exp(??0h(t)dt)
?f(t)exp(A). 从而上述命题得证 .
3.2 函数矩阵范数的Gronwall积分不等式
3
令
Gronwall不等式的推广及其应用
