拟线性双曲积分微分方程的一个新混合元分析
吴志勤, 马国锋, 王萍莉
【摘 要】利用协调线性三角形元对一类拟线性双曲积分微分方程建立了一个新的混合元格式. 在抛弃传统有限元分析中的Ritz投影的前提下，直接利用单元上的插值算子的性质,平均值及导数转移技巧，给出了相应的H1-模及L2-模最优误差估计.同时借助于高精度和插值后处理技巧，导出了相应的超逼近及超收敛结果.
【期刊名称】许昌学院学报 【年(卷),期】2017(036)005 【总页数】6
【关键词】拟线性双曲积分微分方程；新混合元格式；超逼近及超收敛性 考虑下面拟线性双曲积分微分方程 (1)
其中,X=(x,y)，Ω?R2为有界凸区域，?Ω为Ω的光滑边界，和·分别表示梯度和散度算子，a=a(X,t)与b=b(X,t)，u0(X)，u1(X)，f(X,t)为已知光滑函数，已知函数a、b及它们的导数有界光滑且满足0 方程(1)在具有记忆性质材料的热传导、核反应动力学、粘弹性力学、生物力学、松散介质中压力等实际问题的研究中有着广泛的用途,备受关注.例如文[1]讨论了a=b=1时方程(1)半离散格式下的双线性元逼近.文[2]考虑了在任意k次有限元逼近空间中非线性双曲积分微分方程半离散有限元格式, 给出了H1模超收敛阶和最优L∞和W1,∞模误差估计.文[3]则研究了此类方程的有限体积元方法,基于有限体积元的Ritz-Volterra投影的逼近性质，得到了半离散有限体积元解的 最优阶L2、H1、L∞和W1,∞模误差估计.文[4] 研究此类方程的半离散有限元逼近格式的超收敛估计.基于一种新的初值近似,得到了有限元解与精确解Ritz-Volterra投影的Ws,p(Ω)模的相应超收敛估计.文[5]在Raviart-Thomas空间中, 研究了该类方程初边值问题混合元方法, 给出了未知函数u，ut及utt和伴随速度及散度逼近解的最优阶L2误差估计.得到了逼近u及的拟最优阶L∞误差估计.文[6,7]采用H1-Galerkin混合有限元法对双曲型方程进行误差估计并得到超收敛分析.文[8]研究了与[1]同样方程的非协调元[9,10]方法.文[11]首先对一类半线性双曲积分微分方程研究了它的半离散和全离散有限元格式，获得了L2模意义下的最优误差估计，然后又对线性双曲积分微分方程利用插值后处理技术获得了L1模意义下整体超收敛1阶的高精度. 本文的主要目的是利用协调线性三角形元, 对方程(1)构造一个新的混合元格式，与传统的三角形混合元方法相比，它具有剖分简单、自由度最少及LBB条件自动满足等优点.同时, 在抛弃以往文献中所谓的不可缺少的Ritz投影分析工具的前提下,直接利用单元插值的性质、平均值和导数转移技巧,给出了相应的收敛性分析和及超逼近结果. 1 新混合元格式 设Th是Ω的正则三角形剖分族[12].?K∈Th,设其三个顶点坐标分别为ai(xi,yi)，(i=1，2，3),边为是K的最大直径. 相应的有限元空间定义为 Vh= vh ;vhK ∈P1(K),[vh]ds=0,F?K,?K∈Th}， ?K∈Th}， 其中,P1(K)=span{1，x，y}，P0(K)×P0(K)=span{1}×span{1}，[vh]表示跨过 单元边界F的跳跃值. 定义插值算子 ：u∈H1(Ω)→u∈Vh，(u-u)ds=0(i=1,2,3), 为了给出问题(1)的一个新的混合有限元的弱形式,我们引入u的伴随向量函数 u-b(X,t,τ)u(X,τ)dτ, 并设γ(X,t)=a-1(X,t),β(X,t,τ)=γ(X,t)b(X,t,τ). 则上述问题(1)可写成如下的一阶系统 (2) 与(2)对应的弱形式为: 求满足 (3) 相应的有限元逼近为: 求满足 (4) 2 误差分析及超逼近 记并给出文中要用到的一个重要积分不等式[13] ψ(s) 2dsdτ≤cψ(s) 2ds, (5) 其中, ψ是定义在[0,t]上的可积函数，而t∈[0,T]. 下面我们给出本文的主要结果. 定理1 设和分别是(2)、(4)的解,若则 ‖ (6)
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