基本不等式
1
1．函数y＝x＋x(x＞0)的值域为( )． A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞)
B．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
a＋b1
2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋2≥1，其中正确的个数是
x＋1ab
( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )． 1
A.2 B．1 C．2 D．4 4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋
1
(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )． x－2
A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4 t2－4t＋1
5．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．
t
利用基本不等式求最值
11
【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则x＋y的最小值为________； (2)当x＞0时，则f(x)＝
2x
的最大值为________． x2＋1
1
的最小值为________． x－1
【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋
2
(2)已知0＜x＜5，则y＝2x－5x2的最大值为________．
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
利用基本不等式证明不等式
bccaab
【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥a＋b＋c.
【训练2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 111
求证：a＋b＋c≥9.
利用基本不等式解决恒成立问题
x
【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是
x＋3x＋1________．
【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
1 (2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋ab＋
1
的最小值是( )．
a?a－b?
A．1 B．2 C．3 D．4
双基自测
1.答案 C
112
＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1.答案 B x2＋1x2＋1
1
3．解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤2.答案 A
11
4．解析 当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ?x－2?×＋2
x－2x－2
1
＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x
x－2
＝3，即a＝3.答案 C
t2－4t＋11
5．解析 ∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等
tt
号．答案 －2
【例1】解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1， 112x＋y2x＋yy2xy2x
∴x＋y＝x＋y＝3＋x＋y≥3＋22.当且仅当x＝y时，取等号．
2x221
(2)∵x＞0，∴f(x)＝2＝1≤2＝1，当且仅当x＝x，即x＝1时取等号．答
x＋1
x＋x
案 (1)3＋22 (2)1
1
【训练1】．解析 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3 当且仅当x
x－112
＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2
55
1?5x＋2－5x?2
?＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x， －5x＞0，∴5x(2－5x)≤?
52??
1128
即x＝5时，ymax＝5.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴y＋x＝1，
8y2x4yx?82??4yx?∴x＋y＝(x＋y)?x＋y?＝10＋x＋y＝10＋2?x＋y?≥10＋2×2×
x·y＝18， ????
4yx
当且仅当x＝y，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，
1
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案 (1)3 (2)5 (3)18
bccabccabcab
【例2】证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2 ·＝2c；＋≥2
ababac
bcabcaabcaab?bccaab??a＋b＋c?≥2(a·＝2b；＋≥2 ·＝2a.以上三式相加得：2
acbcbc??
bccaab
＋b＋c)，即a＋b＋c≥a＋b＋c.
111a＋b＋c
【训练2】 证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c＝a＋a＋b＋ca＋b＋cbcacab?ba??ca??cb?＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c＝3＋?a＋b?＋?a＋c?＋?b＋c? b＋c??????2．解析 ①②不正确，③正确，x2＋
(完整word版)基本不等式练习题(含答案)
