基本不等式
1
1.函数y=x+x(x>0)的值域为( ). A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞)
B.(0,+∞) D.(2,+∞)
a+b1
2.下列不等式:①a2+1>2a;②≤2;③x2+2≥1,其中正确的个数是
x+1ab
( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ). 1
A.2 B.1 C.2 D.4 4.(2011·重庆)若函数f(x)=x+
1
(x>2)在x=a处取最小值,则a=( ). x-2
A.1+2 B.1+3 C.3 D.4 t2-4t+1
5.已知t>0,则函数y=的最小值为________.
t
利用基本不等式求最值
11
【例1】?(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则x+y的最小值为________; (2)当x>0时,则f(x)=
2x
的最大值为________. x2+1
1
的最小值为________. x-1
【训练1】 (1)已知x>1,则f(x)=x+
2
(2)已知0<x<5,则y=2x-5x2的最大值为________.
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为________.
利用基本不等式证明不等式
bccaab
【例2】?已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥a+b+c.
【训练2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 111
求证:a+b+c≥9.
利用基本不等式解决恒成立问题
x
【例3】?(2010·山东)若对任意x>0,2≤a恒成立,则a的取值范围是
x+3x+1________.
【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________.
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
1 (2010·四川)设a>b>0,则a2+ab+
1
的最小值是( ).
a?a-b?
A.1 B.2 C.3 D.4
双基自测
1.答案 C
112
=(x+1)+-1≥2-1=1.答案 B x2+1x2+1
1
3.解析 ∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤2.答案 A
11
4.解析 当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2 ?x-2?×+2
x-2x-2
1
=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x
x-2
=3,即a=3.答案 C
t2-4t+11
5.解析 ∵t>0,∴y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=1时取等
tt
号.答案 -2
【例1】解析 (1)∵x>0,y>0,且2x+y=1, 112x+y2x+yy2xy2x
∴x+y=x+y=3+x+y≥3+22.当且仅当x=y时,取等号.
2x221
(2)∵x>0,∴f(x)=2=1≤2=1,当且仅当x=x,即x=1时取等号.答
x+1
x+x
案 (1)3+22 (2)1
1
【训练1】.解析 (1)∵x>1,∴f(x)=(x-1)++1≥2+1=3 当且仅当x
x-112
=2时取等号.(2)y=2x-5x2=x(2-5x)=·5x·(2-5x),∵0<x<,∴5x<2,2
55
1?5x+2-5x?2
?=1,∴y≤,当且仅当5x=2-5x, -5x>0,∴5x(2-5x)≤?
52??
1128
即x=5时,ymax=5.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴y+x=1,
8y2x4yx?82??4yx?∴x+y=(x+y)?x+y?=10+x+y=10+2?x+y?≥10+2×2×
x·y=18, ????
4yx
当且仅当x=y,即x=2y时取等号,又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
1
∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.答案 (1)3 (2)5 (3)18
bccabccabcab
【例2】证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴+≥2 ·=2c;+≥2
ababac
bcabcaabcaab?bccaab??a+b+c?≥2(a·=2b;+≥2 ·=2a.以上三式相加得:2
acbcbc??
bccaab
+b+c),即a+b+c≥a+b+c.
111a+b+c
【训练2】 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴a+b+c=a+a+b+ca+b+cbcacab?ba??ca??cb?=3+a+a+b+b+c+c=3+?a+b?+?a+c?+?b+c? b+c??????2.解析 ①②不正确,③正确,x2+
(完整word版)基本不等式练习题(含答案)
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