小学六年级奥数
份，所以原来两种商品的价格比x，涨价后价格比
x8?1?10?x?412所以价格涨了x?232份，恰是A?1，元，
所以B份是50元，所以原来两种商品的价格各是为A元，3元
【巩固】 兄弟两人每月收入比B，支出钱数比4，他们每月都节余10元，求兄弟两人月收入各多少？ 【解析】 方法360:设兄弟两人每月收入分别为290元，A元，根据支出钱数比B列方程得A，解得x，所
以兄弟两人收入各是B元，(50?x)元 方法A：9x?4(50?x)?200?5x：设兄弟两人月收入各是3x?10(50?x)?500?7x元，??200?5x?360?500?7x?290元
根据两个比例列方程得30?x?32解得x所以兄弟两人收入各是A元，2700元
方法B：由于兄弟结余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差为A份，支出差为B份，所以收入差应为和支出差应为A份，所以兄弟收入比为B，所以结余应为20?18?15?13?2份对应360元，所以1份就是180元，所以兄弟两人月收入各是180?20?3600元，180?15?2700元 【例 17】 求方程3x＋5y＝31的整数解 【解析】 方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝
解
1?y331?5y3，即 x＝10－2y＋
1?y3，要使方程有整数
必须为整数．
1?y31?y31?y3取y＝2，得x＝10－2y＋当y＝5，得x＝10－2y＋当y＝8，得x＝10－2y＋
＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2 ＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5 ＝10－16＋3无解
所以方程的解为：??x?7?x?2,?y?2??y?5方法二：利用余数的性质3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据
这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为： 取y＝1，2y＝2，2÷3＝0??2（舍）
y＝2，2y＝4，4÷3＝1??1（符合题意） y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）
y＝4，2y＝8，8÷3＝2??2（舍）
y＝5，2y＝10，10÷3＝3??1（符合题意） y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）
当y＞6时，结果超过31，不符合题意。 所以方程的解为：?【例 18】 解方程??x?7?x?2,?y?2??y?5
（ 其中a、b、c均为正整数 ）
，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍
?1800a?1200b?800c?16000?a?b?c?15?9a?6b?4c?80【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得??a?b?c?15相减后为：(9a?6b?4c)?4(a?b?c)?80?4?15，整理后得5a?2b?20，根据等式性质，2b为偶数，20为偶数，所以5a为偶数，所以a为偶数，当a?2时，5?2?2b?20，b?5，所以c?8，
?a?2?当a?4时，5?4?2b?20，b?5，所以无解。所以方程解为?b?5??c?8
【例
1??5x?3y?z?10019】 解不定方程?3?x?y?z?100? (其中x、y、z均为正整数)
第 6 页 共 12 页
小学六年级奥数
【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得?14x?8y?200?15x?9y?z?300?x?y?z?100，根据消元思想与第二个式子相减得
，根据等式性质4y为4的倍
，根据等式的性质两边同时除以2得：7x?4y?100数，100为4的倍数，所以7y为4的倍数，所以y为4
?x?4?x?8?x?12???的倍数试值如下?y?18,?y?11,?y?4????z?78?z?81?z?84【例 20】 某公交车起点站已停放10辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔8分钟就有一辆公交车开出，
在第一辆公交车开出4分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔12分钟就有一辆公交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每隔8分钟开出一辆，问：第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一次不能正点发车？
【解析】 假设第一辆公交车开出x分钟后车站无车可发，可列方程：
x8?1?10?x?412?1，解得x?232．
第一辆公交车开出后第232分钟可以发一趟车，到第240分钟时就无车可发了，所以答案是经过240分钟后车站第一次不能正点发车．
【巩固】 某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A、B两种产品共50件，已知每生产一件A产品需甲
原料9千克和乙原料3千克；每生产一件B产品需甲原料4千克和乙原料10千克．现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产A、B两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案．
【解析】 设生产A产品x件，则生产B产品(50?x)件．
共需要甲原料9x?4(50?x)?200?5x千克，需要乙原料3x?10(50?x)?500?7x千克． 为避免原料不够用，则??200?5x?360?500?7x?290，解得30?x?32．
由于x是整数，所以共有3种方案：①生产A产品30件，B产品20件；②生产A产品31件，B产品19件；③生产A产品32件，B产品18件． 【例 21】 如图，图中5、8和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含X这个字母的四
边形面积是多少？
X5105aXb10
分成面积为a、b的两个三角形.利用同高的两个三角形面积之比等于
5?10858【解析】 如图，设虚线把四边形X相应底边之比，可得：a?2a?b?8??5b?4a?20?（可化简为2a?b?8）和
8b8?a?b?81?05?a?b（可化简为5b?4a?20），
由这两条方程构成方程组：
，方程组可解得：??a?10?b?12，
所以四边形X的面积为10?12【巩固】 三角形ABC中，
A1CA1B?22?.
?C1BC1A?12B1AB1C，问：
S?DEFS?ABC??
第 7 页 共 12 页
小学六年级奥数
AB1AB1FC1DBEA1FC1DC
EA1C1BC1ABC?
12【解析】 根据题意，直接建立?DEF与?ABC的联系是解答本题的关键，因为，所以连接AD后，
既可以使?BDC1与?ABC建立联系，又可使四边形AFDC1与?ABC也建立联系.
设S?ABC?1，S?BDC?a1，S?ADB?C1BC1A?1?x，则：S?ADC1?2a，S?CDB1?2x.
根据题意，
1?3a?x???3??2a?3x?2?3?A1CA1B?B1AB1C12，可列方程：
4?x???21，方程解得??a?1??21，
所以四边形AC1DB1的面积等于x以剩下的三角形DEF的面积为
17?2a?27，同理四边形CB1FA1的面积和四边形BA1EC1的面积都是
27，所
.
【例 22】 甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人
所拿的自然数得分，重复玩了3次后，甲共得19分，乙和丙各得13分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？
【解析】 三张牌上的三个数之和是?19?13?13??3?15． 因为3不能整除13和19，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，，又因为谁也没有拿到
三张牌各1次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三张牌从大到小写的数依次为a、b、c.由乙、丙各得13分，推知乙、丙的三张牌是c、c、a和x、?24?x?、x.则甲的三张牌是8x??24?x??2??24?x??x、x y
由x?y?24得8x?y?2y?x. 由??x?y?24???(1)?8x?y?2y?x?(2)?6、x.
得y?3x，从而x?3x?3?24x?6.
将y?18代入?1?、?3?得b?5，c.
所以，三张牌从大到小写的数依次是7，5，3. 【例 23】 三张卡片上分另标有p、q、r数码(整数)且0?p?q?r，游戏时将三张卡片随意分发给A、
B、C三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果A、三人得分总数分别为20、10、9．已知B在最后一轮的得分是r，那么⑴ 在B、第一轮得分是q；（2）p、q、r分别是 、 、 ．
【解析】 三人总分为20?10?9?39?1?39?3?13． 如果游戏进行了39或13轮，则p?q?r?1或3，与0?p?q?r矛盾；如果游戏只进行了1轮，则r?20，被A得到，与“B在最后一轮的得分是r”矛盾．所以游戏进行了3轮，且p?q?r?13．
⑴因为B共得10分，且最后一次得r分，所以前两次都得p分，否则三次至少得13分．因为C三次总分比B少，所以C没得过r分，前两次都得q分，即第一轮得q分的是C．
⑵假设C三次都得q，由B得p?p?r?10和A得r?r?p?20，解得r?10，p?0，与p?0矛盾，所以C前两次得q，最后一次得p．
第 8 页 共 12 页
小学六年级奥数
?p?2q?9,?由?2p?r?10,??2r?q?20,解得p?1，q?4，r?8．
【例 24】 购买3斤苹果，2斤桔子需要6.90元；购买8斤苹果，9斤桔子需要22.80元，那么苹果、桔子
各买1斤需要 元.
【解析】 假设购买1斤苹果、桔子分别需要x元、y元，则：
?3x?2y?6.9??8x?9y?22.8，
两式相加得11x?11y?29.7，即x?y?2.7。 所以各买1斤需要2.7元。
点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买3?8?11斤苹果和2?9?11斤苹果，须6.90?22.80?29.7元，所以各买1斤需要29.7?11?2.7元. 【例 25】 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要 元。 【解析】 设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z，则??3x?7y?z?20??(1)?4x?10y?z?27??(2)，
由(1)?3?(2)?2得x?y?z?3?20?2?27?6，即各买一件需要6元。
点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。 【例 26】 假设五家共用一井取水，甲用绳2根不够，差乙家绳子1根；乙用绳3根不够，差丙家绳子1根；
丙用绳子4根不够。差丁家绳子1根；丁用绳子5根不够，差戊家绳子1根；戊用绳6根不够，差甲家绳子1根．如果各得所差的绳子1根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于1000的整数）
【解析】 依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为A、B、C、D、E，井深k，则可列出方程组如下：
?2A?3B???4C?5D???6E?B?k?C?k?D?k?E?k?A?k
这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代B?k?2A，
C?k?3B?6A?2k，D?k?4C?9k?24A，E?k?5D?120A?44k，
代入最后一个式子，6??120A?44k??A?k，即721A?265k，所以A?265，k?721． 于是，B?191，C?148，D?129，E?76． 【例 27】 在同一路线上有4个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑
自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？
【解析】 12时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用，所以我们从12时开始考虑．
设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a、b、c、d，设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为x，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y．
?x??x有??x??y?2?a?d??????1??y?4?a?b?????2??y?5?b?c?????3??6?b?d??????4???3??2??2???4?
?1??2得到3x?10?c?d?，即x13?103?c?d?
设骑自行车的在t时遇见骑助力车的，则
x??t?12???c?d?，即t?12?103，所以t?15．
第 9 页 共 12 页
小学六年级奥数
所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的． 【例 28】 河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，
共用3小时．若他由R到Q再到P，共需6小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，
那么从P到Q再到R需
52小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时？
?a【解析】 设游泳者的速度为1，水速为y，PQ?a?b?3???1??1?y??a?b5?????2??2?1?y?a?b?6???3??1?y?，QR?b，则有：
且有1?y、1?by1?y2ay1?yy、y均不为0．
12 ?1???2?得 ?3???1?得
?，即b，即a52?1?y2y?????4?
22?3?3?1?y2y????5?
??4?3y?，即5y?4?3y 由?2?、?4?、?5?得： 于是，y
a?b1?y???1?y??a?b?51?y2y．
?12．由?2?得：a?b?1?15???1???2?2?4．
151?15???1???42?2?小时．
152 即题中所述情况下从R到Q再到P需小时．
课后练习：
练习1. 丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说：“把我摘的苹果给玲玲7个，玲玲摘的苹果的个数就是我的2
倍．”玲玲说：“把我摘的苹果给丁丁7个，他的苹果个数就和我的一样多了．”问丁丁和玲玲各摘了多少个苹果？
【巩固】 设丁丁摘了x个苹果，由题意得： x?7?7?2(x?7)?7 x?14?2x?21 x?35．
即丁丁摘了35个苹果，而玲玲的苹果个数为35?7?7?49(个)． 练习2. 大强参加6次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分．如
果后三次的平均分比前三次的平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？
【解析】 设第三次分数是a分，第四次的分数为（a?x）分，则前两次的分数之和（2a?x?4）分，最后
两次的分数之和（2a?x?4）分，有（2a?x?4）（?a?x）?（2a?x?4）?a?9，解得x?1，即第四次比第三次多得1分．
练习3. 儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得2分，儿子胜一局得8分，负的一方不管是谁都要
扣1分，比赛24局以后，父子得分相同，问他们各胜几局？
【解析】 法一：设儿子胜了x局，输了?24?x?局，父亲胜了?24?x?局，输了x局， 则由得分关系得8x??24?x??2??24?x??x，解得x?6，
所以儿子赢了6局，父亲赢了18局．
法二：本题中要求儿子和父亲各胜多少局，可分别设两个未知数为x和y，要求两个未知数的值，一般要根据不同的等量关系列出两个方程．题中儿子、父亲比赛的总局数是24局，可列出一个方程：另x?y?24．外，两人的得分相同，儿子胜的局数正好是父亲负的局数，由此列出另一个方程：8x?y?2y?x．所以
第 10 页 共 12 页
六年级奥数-第三讲 方程综合运用. 教师版
