第三十一届全国中学生物理竞赛模考训练（一）
第一题：蜷伸而行的异虫
小星同学有一天在为同桌的女同学准备礼物的时候捉到了一种虫子，他仔细地观察了这种虫子，发现它和一般的虫子的运动方式并不相同。
这种虫子只有头足和尾足，通过身体的蜷缩与伸展进行移动，它的一次移动大致是这样的：
小星同学经过仔细的观察，发现虫子的身上有许多线形的基膜，它们的长度总是不变，都由虫子的头部延伸至尾部，并总是绕着虫子转一圈。经过多次解剖操作，小星同学发现基膜总是在展开图上呈一条直线：
（1）小星同学认为圆柱是好的，所以虫子永远是圆柱体。已知基膜长度为L，求虫子的最大体积Vm以及此时对应的θ0。
（2）小星同学突然觉得虫子的体积为变量是不科学的，于是他假设虫子的体积是定值。经过浮力测量与计算，他发现体积V0=0.38Vm，于是虫子在自然状态下就是椭圆柱形。
求证：虫子在达到最长或最短时一定为圆柱。求出此时虫子的长度h1，h2。
（3）小星同学经过了更细致的解剖，发现基膜之间有沿圆周向的和轴向的肌肉连接，两种肌肉分别有N1，N2根。认为肌肉在收缩时，符合胡克定律的应力与形变量关系，其劲度系数为k。而在舒张时，由于构造原因，基本没有应力。
求虫子在一次移动中（最短-最长-最短）所需做功的最小值W。
第二题：追逐光明的飞蛾
小星同学在又一次把毛毛虫放进同桌女同学铅笔盒中，被老师弄个大新闻，把他批判一番后表示十分愤怒，决定悉心抚养残余的毛毛虫，希望他们长成蝴蝶。后来它们破蛹而出之后，全都变成了蛾子。小星同学非常失望，决定烧死这些异性恋。
小星同学经过多次实验，发现飞蛾并不直接飞向点光源（如蜡烛）。经观察，小星同学认定飞蛾行进的方向总与光线方向成一固定夹角。他想了想，认为飞蛾在自然界中一般以平行光为光源，所以在自然界中沿直线飞行。他认为这十分合理，就确定了他的假设。
小星同学将光源放在原点，观察到蛾子飞行的轨迹在一个锥角为α的圆锥上。设轨迹与光线夹角为θ，速率v0恒定，初态位于x=Lsinα，y=0，z=Lcosα处。
（1）求初态蛾子的加速度a（向量）。 （2）求蛾子运动轨迹的参数方程。
（3）小星同学看到了一对好基友，他不想烧死他们。已知蛾子的最大加速度为a0 ,达到最大加速度时飞出。求θ应满足什么条件才能使蛾子到原点的逃逸距离不小于L0。
第三题：液化的细胞骨架
小星同学在解剖过程中发现，人的红细胞截面比毛细血管大，但是红细胞却能通过毛细血管。红细胞的细胞骨架在常态是固态，无法发生大幅度形变。小星同学向蔡老师请教，蔡老师让他先研究水的气-液相变。
（1）右图为相邻温度T和T+dT下水的等温曲线，其对应的饱和蒸汽压为p和p+dp，对应液相和气相体积为Vl和Vg。
已知卡诺定理：在T和T+dT间工作的热机最大效率为?m?T，Vg，Vl表达
dT。利用摩尔汽化热?mol，Tdp，并在Vl< （2）在人体体温附近，红细胞的细胞骨架会由于压强变化发生由固态到液态的相变，所以在红细胞通过毛细血管时细胞骨架已经转化为液态。试说明液态与固态体积Vl与Vs的大小关系。 （3）已知密度ρl=1.0kg/m3，ρs=0.9kg/m3，熔化热λ=2.4×104J/kg。求人体温降低一摄氏度时，通过血管的附加压强应增加多少？ 第四题：如电容般的轴突 小星同学在继续他的解剖过程的时候见到了一根轴突，并且建立了一个毫无准确性的模型来编造一道和神经冲动毫无关系的物理题。模型如右。 设轴突为两个共轴圆柱形软质生物膜，之间填充有一层不可压缩的绝缘物质填充（相对介电常数为1），已知内径a，外径b（b-a>>a）。膜在静息电位时内外单位长度上带点量分别为-λ，+λ。 （1）求内外层电势差??。 （2）分别求单位面积的内、外层电荷受力。 （3）若外界压强为P0，为使膜不发生变形，求中间层、内层压强P1、P2。 第五题：只受重力的电子 当我们把同学们，或者是电子们放在地面附近，并且认为它们只受重力影响时，它们的状态依然是有量子化的分布的。由于同学们的尺度过大，下面我们来讨论电子的情形： （1）利用不确定性关系?x??p?22?，用m，g，h估算表示电子在基态和地面平2均间距及对应的态的动能和势能 （2）可以利用玻恩近似得到索未非量子化条件，从而有更精确的估算。在pz-z图中，画出一个能量为E的经典粒子做自由落体-弹性碰撞运动过程中代表点移动的轨迹。并认为一个周期中，轨迹圈得的面积为S?(n?)?h，其中n为自然数。求出基态和第一激发态的能量。 14
第三十一届全国中学生物理竞赛模考训练（一）
