专题四函数性质的综合问题(2021年高考数学一轮复习专题)

专题四函数性质的综合问题

一、题型全归纳

题型一 函数的奇偶性与单调性

【题型要点】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)

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【例1】已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，

3b＝(ln 3)2，c＝ln3，则( ) A．f(a)>f(b)>f(c) C．f(c)>f(a)>f(b)

B．f(b)>f(a)>f(c) D．f(c)>f(b)>f(a)

【解析】 由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

ln 3

又因为|a|＝ln 3>1，b＝(ln 3)2>|a|，0f(|a|)>f(b)．又由题意知f(a)＝f(|a|)，

2所以f(c)>f(a)>f(b)．故选C.

题型二 函数的奇偶性与周期性

【题型要点】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．

【例1】(2020·武昌区调研考试)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y＝f(x－1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f??＝ ．

?5??2?【解析】解法一：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所

以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4，因为0≤x≤1时，f(x)＝x3，所以f??＝f?1?3??3??1??1??1?f?-?＝-f??＝-f?1??＝f?-?＝-f??＝－8. ?2??2??2??2??2??5??2??5?-4?＝?2?解法二：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，由题意知，当－1≤x<0时，f(x)＝x3，故当－1≤x≤1时，f(x)＝x3，当1

8?2??2?3题型三 函数的综合性应用

【题型要点】求解函数的综合性应用的策略

(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．

(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．

【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，现给出下列命题：①函数f(x)是以2为周期的周期函数；②函数f(x)是以4为周期的周期函数；③函数f(x－1)为奇函数；④函数f(x－3)为偶函数，其中真命题的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4

【解析】 偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，f(x＋2)＝－f(x)， f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故①错误，②正确； 由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)．

又f(－x－1)＝f(x＋1)，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，故f(x－1)为奇函数，③正确； 若f(x－3)为偶函数，则f(x－3)＝f(－x－3)，又f(－x－3)＝f(x＋3)，

所以f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误，故选B.

题型四 函数性质中“三个二级”结论的灵活应用

结论一、奇函数的最值性质

【题型要点】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.

（x＋1）2＋sin x

【例1】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．

x2＋1（x＋1）2＋sin x2x＋sin x

【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)＝＝1＋，

x2＋1x2＋12x＋sin x

设g(x)＝2，则g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，

x＋1由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，

所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.

结论二、抽象函数的周期性

(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 1

(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

f（x）(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

【例2】已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋22，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(1)＝2，则f(17)＝ ．

【解析】由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数． 由f(x＋4)＝－f(x)＋22，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋22＝f(x)，所以f(x)是最小正周期为8的偶函数，所以f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)＝2.

结论三、抽象函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数．

a＋b(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，

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