《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计
宁波市第四中学 邵春霞
一、教学内容分析 (一)教材的地位与作用
“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3中“第一章计数原理”第1.1节的内容，本节课为第1课时．两个计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。一方面它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想方法和理论依据；另一方面它的结论与其基本思想方法在解决本章应用问题时有许多直接应用。因此，它理应成为我们重点把握的教学内容。新旧教材最大区别在于：旧教材是先学习两个计数原理后学习概率，体现由理论到实践的过程。新教材是在学习了古典概型的基础上提出了本节内容，体现了由实践到理论、再到实践的过程。学生在具备一定的计数能力(树形图、列举法等)的前提下，能更好更快地理解并掌握这两个基本原理，在实践中能更灵活地运用两个基本原理来解决问题。另外本节课所涉及的分步、分类思想是解决实际问题的最有效的武器，是人们思考问题的基本方法。 （二)教学重点与难点
教学重点：对两个计数原理的认识与理解，并能解答简单的应用问题。 教学难点：根据具体问题特征，准确选择分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决实际问题。
（三）教学目标 1、知识与技能：
（1）正确理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理 （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 2、过程与方法：
(1) 经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到
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发现数学、运用数学的过程．
(2)在解决实际问题的过程中，进一步体会将问题进行“分类”思考和 “分步”思考的数学方法。 3、情感、态度与价值观：
培养主动探究的学习态度和协作学习的能力，进一步提高学习数学、研究数学的兴趣．
二、学情分析
1.认知基础：对于学生来说计数问题并不陌生，在不同的学段都有相应的接触，特别是在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时，学生又学会了用树状图、列举法解决最简单的计数问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题．
2.能力基础：高二学生有较强的观察能力和一定的数学抽象概括能力。
3.可能障碍：一是应用原理的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题。
两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃，则是本课必须要突破的难点所在．为此，抓住以下两个要点尤为重要：
一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；
二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键．
三、教学策略分析
(一)教法分析
对于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于学生从已有的方法中发现原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质．拟定采取以退为进的教学策略，采用“情境引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺
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垫”的探究发现式教学方法，紧紧围绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开，通过典型丰富的实例引导学生归纳出两个计数原理，并能学会初步应用，加深对原理的区分和思想方法的理解． （二）学法指导
学生已具备一定的计数能力（树状图、列举法等），能解决一些基本的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度。但是要由实际问题转变为数学知识，必须借助于老师的引导和帮助。而当归纳总结得出分类加法计数原理之后，运用类比的方式得出分步乘法计数原理对学生来说就并不困难了。同时，对于两个原理的应用，关键是能否根据具体问题的特征选择相应的原理，要指导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件和应用的注意点。 四、教学手段
采用多媒体辅助教学，营造愉悦的学习情境。
五、过程设计
（一）创设问题情境，激发学习兴趣，导入课题
随着生活水平的提高，城市汽车越来越多，道路也越来越拥堵，图片中是我们宁波市区上班高峰时的路况。
背景资料：宁波治堵再放大招！2019年新增公共自行车5000辆、专用停车位超4万个。过去的几年，宁波市委、市政府大力推行“城市治堵”，让许多市民深有体会。然而，这还仅仅只是个开始。昨天，宁波市召开2019年交通拥堵治理和公交都市创建工作推进会，公布了最新方案。根据部署，今年宁波将通过优化公交出行、完善城市道路网络、加强停车设
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施管理与建设、推进智慧交通建设、推进市域治堵等十方面工作，切实提高居民获得感和满意度，提升城市综合竞争力。（2019-03-23现代金报）
你知道宁波市的公共自行车有哪些种类吗？它们的车牌是什么样子的?
情境1：如果宁波市公共自行车车牌照形式为“甬-□□□□■”其中“甬”为地区代码，■为大写英文字母D，E，□为0~9阿拉伯数字。按此方式编排，最多有多少个不同的牌照？
【设计意图】： 创设问题情境，从贴近学生生活的实际问题出发，激发学生的学习兴趣。
我们来看看这个问题的设问方式，“按此方式编排，最多有多少个不同的牌照？”这就是一个典型的计数问题．所谓计数就是数数．我们将这种方法数的计算问题称之为计数问题。
计数问题：即计算完成一件事的方法数的问题。
小时候，我们是怎么数的呀？
当这个数很大时，列举的方法很难实施．比如，刚才这个问题“一个一个的去数”可以吗？比较复杂．看来我们有必要探究更有效的计数方法。
今天我们先来学习计数问题中两种最基本、最重要的方法。 （板书课题：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理） （二）实例探究，归纳原理
这个问题研究五位编码比较复杂，怎么办？我们不妨先研究比较简单的问题，从中探索出规律，进而解决五位数编码问题．
（1）师生共同探究，得出分类加法计数原理
情境１：北师大专家到宁波四中进行学术交流，已知从北京到宁波，可以乘火车，也可以乘飞机．一天中，直达火车有5班，直达飞机有10班。那么一天中，乘坐这些交通工具从北京到宁波共有多少种不同的走法？
【设计意图】：引导学生分析要完成的“一件事”是什么,从而正确理解“一件事”的概念。
情境2：若从北京到宁波一天中还有2班汽车可乘，那么一天中乘坐这些交通工具从北京到宁波，共有多少种不同的走法？
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看来加法原理不仅对完成一件事有两类不同方案适用，也对分三类方案适用，对分n类同样适用．
变式：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，每一类中的每一种方法均可完成这件事，那么，完成这件事共有多少种不同的方法？
【设计意图】：由特殊到一般的设计思路，让学生理解分类加法计数原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证思想。
例1、如果北师大专家从3门必考科目语、数、外和7门选考科目物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术中选择一门学科进行学术指导，共有多少种不同选法？
反馈练习1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字（1 ～ 9）给各个学科的学术交流资料进行编号，总共能够编出多少种不同的号码？ （2）类比转化探究，得出分步乘法计数原理
情境3：北师大专家先乘飞机从北京到杭州，再于次日从杭州乘汽车到宁波。一天中，汽车有5班，飞机有10班，那么两天中，从北京到宁波共有多少种不同的走法？
【设计意图】从实际问题出发，让学生类比分类加法计数原理归纳得出分步乘法计数原理。
例2、专家从3门必考科目语、数、外和7门选考科目物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术中选择必考科目和选考科目中各选一门学科进行学术指导，共有多少种不同的选法？
反馈练习2：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，……，B1，B2，……的方式给各个学科的学术交流资料进行编号，总共能编出多少种不同的号码？
【设计意图】让学生总结得到：若“要完成的事”满足“类类独立”，用任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事情，则是一个分类问题；若“要完成的事”满足“步步相依”，只有依次完成每一个步骤才能
【设计意图】通过本例让学生进一步理解“分类”的含义。
【设计意图】通过本例让学生进一步理解 “分步”的含义。
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《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计(第一课时)
