证明Ι:完全非弹性碰撞动能损失最大的证明
（利用初等函数证明）
在碰撞中，系统动量守恒。但动能损失不一样。 完全弹性碰撞，碰撞前后，系统总动能不损失。 非弹性碰撞，损失一部分动能。
两个物体碰撞后，不分开，以同一速度运动，叫做完全非弹性碰撞。此时动能损失最大。下面是证明过程。
条件：质量m1，速度v1，与质量m2，速度v2物体发生碰撞，碰后，m1速度变为v1/，m2速度变为v2/。
由动量守恒：m1 v1+m2 v2=m1 v1/+m2 v2/……（1）
损失动能：?E?(m1v12?m2v22)?(m1v1/?m2v2/)……（2）
111122/2/2令p= m1 v1+m2 v2 ，E1?m1v1?m2v2，E2?m1v1?m2v2，p和E1确定，
22221212122122只需证明E2最小的条件，即可得到最大的动能损失的条件。
/p?mv/11利用（1）式可得：v2……（3） ?m2//m1(m1?m2)v1?2pm1v1?p2将（3）带入E2，得：E2?，可见分子部分为关于v1/
2m22的函数。令f(v1/)?m1(m1?m2)v1/?2pm1v1/?p2……（4）
只需求出f(v1/)的最小值即可。二次函数开口向上，顶点坐标值对应f(v1/)最小。 即当v1/??bp?时，f(v1/)最小，则此时E2最小，△E最大。 2am1?m2p。
m1?m22将v1/带入（3）式得：v2/?v1/?即：碰撞后两物体不分开以相同速度运动，损失的动能最大。得证。
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拓展：可以对（4）式求导，找极值，更容易得到证明。此处略。
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求解：一动碰一静，碰后两球速度的取值范围。
由动量守恒：m1 v0 =m1 v1+m2 v2……（1）
能量关系：m1v02?m1v12?m2v22?Q ……（2）（Q为过程中损失的机械能） 由（1）得：v1?v0-m2v2……（3） m1m222v2）?m2v2?2Q，整理可得： m1121212将（3）带入（2）式：m1v02?m（1v0-22mv2(m2?2)-2m2v0v2?2Q?0……（4）
m1-b?b2-4ac根据求根公式：x?可得：
2am1v0?(m2v0)2-2m2(m1?m2)Qm1将v2带入（3）式，可得：v1?m1?m2m1v0-(m1v0)2-
讨论Ⅰ——根的合理性：若：v2?m1v0?(m2v0)2-2m2(m1?m2)Qm12m1(m1?m2)Qm2m1?m2，
则，v1?m1?m2，v1速度方向与原方向相同，且大于v2，
不符合碰撞的合理性原则，将这组根舍去。
2m1(m1?m2)m1v0?(m1v0)-Qm22结论：v2?m1?m22m2(m1?m2)Qm1……（5），
m1v0-(m2v0)2-v1?m1?m2……（6）
讨论Ⅱ——损失机械能Q与速度的取值范围：
（5）（6）式可得m1、m2，v0一定时，对于不同类型的碰撞，Q将不同：
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高中物理人教版选修35 16.4完全非弹性碰撞动能损失最大的证明和一动一静下碰后速度的取值范围
