新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第2课时零点的存在性及其近似值的求法学案新人教B版必修第
一册
(教师独具内容)
课程标准：1.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理.2.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性．
教学重点：二分法求函数零点的步骤． 教学难点：二分法求函数零点的原理.
【情境导学】(教师独具内容)
在一个风雨交加的夜里，从某水库到防洪指挥部的通信光缆发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何才能迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km内，大约有200根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理呢？学完本节课的知识你就知道了．
【知识导学】
知识点一 函数零点存在定理
01连续不断的，并且□02f(a)f(b)<0(即□03在如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是□04至少有一个零点，05?区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上□即□x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
知识点二 二分法的概念
对于在区间[a，b]上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
知识点三 用二分法求函数零点近似值的一般步骤
01连续不断的，且在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是□02□f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：
03检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取x1＝a＋b，计算结束；如果不成第一步：□2
立，转到第二步．
a＋b?a＋b04计算区间(a，b)的中点a＋b对应的函数值，若f?第二步：□＝0，取x1＝，??22?2?
计算结束；若f?
?a＋b?≠0，转到第三步．
??2?
?a＋b?<0，将a＋b的值赋给b?用a＋b→b表示，下同?，回到第一步；05第三步：□若f(a)f????22?2???
否则必有f?
?a＋b?·f(b)<0，将a＋b的值赋给a，回到第一步．
?2?2?
这些步骤可用如下所示的框图表示．
【新知拓展】
1．函数零点存在定理的使用范围
(1)此判定定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中有4个零点，而图②中仅有1个零点．
(2)此判定定理是不可逆的，因为f(a)f(b)<0?函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0.
2．函数零点的判定
(1)若f(a)f(b)<0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点．
(2)若f(a)f(b)>0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点．
(3)若f(a)f(b)>0，且函数f(x)在[a，b]上不单调，则零点在(a，b)内是否存在不确定． (4)若f(a)f(b)＝0，则a或b是零点． 3．关于用二分法求函数零点近似值的一般步骤
在第一步中，初始区间[a，b]的选定一般在两个整数间，且区间长度尽量小，另外f(a)，
f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)<0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)<0.( ) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( ) (3)二分法求出的函数的零点都是近似值．( )
(4)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图像是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．
(2)用二分法求函数f(x)＝x－3的零点时，若初始区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________.
(3)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间2＋3[2,3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________．
2
答案 (1)1 (2)1 (3)(2,2.5)
题型一 二分法的适用条件
例1 下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
3
[解析] 按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.
[答案] A 金版点睛
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图像在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
[跟踪训练1] (1)下列图像中表示的函数能用二分法求零点的是( )
(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0. A．①② C．①④ 答案 (1)C (2)A
解析 (1)由于只有C中的图像满足连续，且零点左右函数值异号，故只有C能用二分法求零点．
(2)由二分法的定义知①②正确. 题型二 判断函数零点所在的区间
例2 若a A．(a，b)和(b，c)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 B．①③ D．② [解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a [答案] A 金版点睛 确定函数零点所在区间的方法 (1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)<0，也不能说函数无零点，如f(x)＝x，f(－1)f(1)＝1>0，但0是f(x)的零点． [跟踪训练2] 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： 2 x f(x) 不求a，b，c的值，判断方程ax＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( ) A．(－3，－1)和(2,4) C．(－1,1)和(1,2) 答案 A 解析 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根. 题型三 用二分法求函数零点的近似值 例3 判断函数f(x)＝x－x－1在区间[1,1.5]上有无零点，如果有，求出一个零点的近似值(精确度小于0.1)． [解] 因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数f(x)＝x－x－1的图像是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下： 零点所 在区间 (1,1.5) (1.25， 1．5) (1.25， 区间中点 1＋1.5＝1.25 21.25＋1.5＝1.375 21.25＋1.375＝2中点对应的 函数值 取中点作为近似值时误差不会超过的值 0.25 3 3 2 －3 6 －2 －1 －4 0 －6 1 －6 2 －4 3 4 6 m n B．(－3，－1)和(－1,1) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) f(1.25)≈ －0.3<0 f(1.375)≈ 0．22>0 — 0.125 0.0625
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