2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2016A1、设实数a满足a?9a3?11a?a，则实数a的取值范围为
◆答案：a?(?2310,?) 33★解析：由a?|a|可得a?0，原不等式可变形为
9a3?11a|a|1????1
aa即?1?9a?11?1，所以a?(222310104,?)． ,)．又a?0，故a?(?3393
2016A 2、设复数z，w满足z?3，(z?w)(z?w)?7?4i，其中i是虚数单位，z，w分别表示复数z，w的共轭复数，则(z?2w)(z?2w)的模为 ◆答案：65
2222★解析：由运算性质，7?4i?(z?w)(z?w)?|z|?|w|?(zw?zw)，因为|z|与|w|为实
222数，Re(zw?zw)?0，故|z|?|w|?7，zw?zw??4i，又|z|?3，所以|w|?2，从而
(z?2w)(z?2w)?|z|2?4|w|2?2(zw?zw)?9?8?8i?1?8i
因此，(z?2w)(z?2w)的模为65．
2016A 3、正实数u，v，w均不等于1，若loguvw?logvw?5，logvu?logwv?3，则log的值为 ◆答案：
wv4 5★解析：令loguv?a，logvw?b，则
logvu?11，logwv?，loguvw?loguv?loguv?logvw?a?ab ab}，因此结合①得，
条件化为a?ab?b?5，
115??3，由此可得ab?，因此 ab44logwu?logwv?logvu??．
5
2016A 4、袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案：
★解析：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而a?b?5?5?10．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为
9 35C32?3．又此时b?a?2，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有C72?C32?18种
取法．因此，所求的概率为
2016A 5、设P为圆锥曲线的顶点，A，B，C是其地面圆周上的三点，满足?ABC?90，M为
03?18549??． 22C5?C710?2135线段AP的中点。若AB?1，AC?2，AP?◆答案：arctan
2，则二面角M?BC?A的大小为
23★解析：由?ABC=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则PO?平面ABC，易知
1AO?AC?1，进而PO?AP2?AO2?1．
2设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作HK?BC于点K，则由三垂线定理知MK?BC，从而?MKH为二面角M—
BC—A的平面角．
因MH?AH?1HKHC3??，即，结合HK与AB平行知，
2ABAC43MH22HK?，这样tan?MKH??．故二面角M—BC—A的大小为arctan．
4HK334
2016A 6、设函数f(k)?sinkxkx?cos4，其中k是一个正整数。若对任意实数a，均有1010?f(x)|a?x?a?1???f(x)|x?R?，则k的最小值为
◆答案：16 }，因此结合①得，
kxkxkxkx ?cos2)2?2sin2cos21010101012kx32kx ?1?sin?cos? 54545m?其中当且仅当x?(m?Z)时，f(x)取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间
k5??1，即k?5?． (a,a?1)至少包含一个最大值点，从而k★解析：由条件知，f(x)?(sin2反之，当k?5?时，任意一个开区间均包含f(x)的一个完整周期，此时
{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}成立．综上可知，正整数的最小值为[5?]?1?16．
y2?1，左右焦点分别为F1、F2，过点F2作一直线与双曲线C2016A 7、双曲线C的方程为x?32的右半支交于点P、Q，使得?F1PQ?90，则?F1PQ的内切圆半径是
0◆答案：7?1
★解析：由双曲线的性质知，F1F2?2?1?3?4，PF1?PF2?QF1?QF2?2． 因?F1PQ=90°，故PF1?PF2?F1F2，因此
222PF1?PF2?2(PF12?PF22)?(PF1?PF2)2?2?42?22?27从而直角?F1PQ的内切圆
半径是r?
2016A 8、设a1,a2,a3,a4是1,2,3,?,100中的4个互不相同的数，满足
111(F1P?PQ?F1Q)?(PF1?PF2)?(QF1?QF2)?7?1 222?a2122222?a2?a3a2?a3?a4?(a1a2?a2a3?a3a4)2，则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数
???为 ◆答案：40
1222222★解析：由柯西不等式知，(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)，等号成立的充
分必要条件是
a1a2a3??，即a1,a2,a3,a4成等比数列．于是问题等价于计算满足a2a3a4}，因此结合①得，
{a1,a2,a3,a4}?{1,2,3,…,100}的等比数列a1,a2,a3,a4的个数．设等比数列的公比q?1，且q为
有理数．记q?先考虑n?m的情况．
n，其中m,n为互素的正整数，且m?n． ma1n3a1n333m,n此时a4?a1()?，注意到互素，故为正整数． 相应地，a1,a2,a3,a4分别l?33mmmn?1，满足条件并以q为m1003公比的等比数列a1,a2,a3,a4的个数，即为满足不等式nl?100的正整数l的个数，即[3]．
n343由于5?100，故仅需考虑q?2,3,,4,这些情况，相应的等比数列的个数为
23100100100100100[]?[]?[]?[]?[]?12?3?3?1?1?20． 827276464等于ml,mnl,mnl,nl，它们均为正整数．这表明，对任意给定的q?3223当n?m时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列a1,a2,a3,a4． 综上可知，共有40个满足条件的有序数组(a1,a2,a3,a4)．
二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2016A 9、（本题满分16分）在?ABC中，已知AB?AC?2BA?BC?3CA?CB，求sinC的最大值。
b2?c2?a2★解析：由数量积的定义及余弦定理知，AB?AC?cbcosA?．
2a2?c2?b2a2?b2?c2同理得，BA?BC?，CA?CB?．故已知条件化为
22b2?c2?a2?2(a2?c2?b2)?3(a2?b2?c2)
即a?2b?3c．………………………………8分 由余弦定理及基本不等式，得
2221a2?b2?(a2?2b2)a?b?c3 cosC??2ab2ab222}，因此结合①得，
?abab2??2?? 3b6a3b6a32所以sinC?1?cosC?7．………………………………12分 33:6:5．因此sinC的最大值是
等号成立当且仅当a:b:c?
7．……………16分 32016A 10、（本题满分20分）已知f(x)是R上的奇函数，f(1)?1，且对任意x?0，均有
x1111111)?xf(x)。求f(1)f()?f()f()?f()f()???f()f()的值。 x?110029939850511★解析：设an?f()(n=1，2，3，…），则a1?f(1)?1．
n1?xx1k?1，及f(x)为奇函数．可?在f()?xf(x)中取x??(k?N*)，注意到
1x?1k?1x?1k??1kf(知
f(11111)??f(?)?f()……………………5分 k?1kkkkn?1ak?11ak?1n?111?，从而an?a1?????即．……………………10分 akkak(n?1)!k?1k?1k因此
?aaii?150101?i4911????
(i?1)!(100?i)!i!?(99?i)!i?1i?050149i149i1129899?i99?C99?(C99?C99)???2?……………………20分 ??99!i?099!i?099!299!
2016A 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是x轴正半轴上的一个动点。设
F为焦点，O为顶点作抛物线C。设P是第一象限内抛物线C上的一点，Q是x轴负半轴上的一
点，使得PQ为抛物线C的切线，且|PQ|?2，圆C1，C2均与直线PQ相切于点P，且均与x轴相切。求点F的坐标，使得圆C1与C2的面积之和取到最小值。 }，因此结合①得，
2016年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
