23 章 数据分析
23.1 平均数和加权平均数
1、一般地， 我们把 n 个数 x1 , x2 ,..., xn 的和与 n 的比， 叫做这 n 个数的 算术平均数 ，简称
平均数，记作 x ，读作 “x拔 ”，即 x
1
( x1 ... xn ).
n
2、已知 n 个数 x1, x2 ,..., xn ，若 w1 , w2 ,..., wn 为一组正数，则把
x1w1
x2 w2 ... xn wn w1 w2 ...wn
叫做 n 个数 x1 , x2 ,..., xn 的加权平均数 ，w1 , w2 ,..., wn 分
别叫做这 n 个数的 权重，简称权。 23.2 中位数和众数
1、一般地，将 n 个数据按大小顺序排列，如果 的中位数。
n 为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做
这组数据的 中位数 ；如果 n 为偶数， 那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据
2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做 个，也可能没有众数。 23.3 方差
众数 。一组数据的众数可能不止一
设 n 个 数 据 x1 , x2 ,..., xn 的 平 均 数为 x ， 各 个 数 据与 平 均数偏 差 的 平 方分 别是
( x1 x)2 ,( x2 x)2 ,..., (xn x) 2 。偏差平方的平均数叫做这组数据的 方差 ，用 s2 表示，即
s2
1
(x1 x)2 ( x2 x) 2 ... (xn x) 2
n
当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。 23.4 用样本估计总体
由于抽样的任意性， 即使是相同的样本容量， 不同样本的平均数一般也不同； 当样本容量较小时，差异可能还较大。 但是当样本容量增大时， 样本的平均数的波动变小， 逐渐趋于稳定，
且与总体的平均数比较接近。 因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。 同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。 24 章 一元二次方程 24.1 一元二次方程
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 二次方程的一般形式为 ax
2 的整式方程，叫做 一元二次方程 。一元
2
bx c 0( a 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数，
2
bx 是一次项， b 是一次项系数， c 是常数项。一元二次方程的解也叫做这个方
程的根。
1
3、当
24.2 解一元二次方程
1、配方法 ：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为 常数， 当常数为非负数时，利用开平方， 将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求
出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为 1，再在方程两
边同时加上一次项系数一半的平方。 2、对于一元二次方程
ax2 bx c
0 ：
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根。 我们把 b2
4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 的根的判别式。
b2 4ac 0 时 ， 一 元 二 次 方 程
ax 2 bx c
0 的 两 实 数 根 可 以 用
x
b
b
2a
2
4ac
求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元
二次方程的方法叫做 公式法 。
4、因式分解法：把一元二次方程的 一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积 ，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。
24.3 一元二次方程根与系数关系
如果一元二次方程
ax 20
bx c
的两根分别为
xb
1, x2 ，那么 x1 x2
, x1 ? x2 c 。
a a
24.4 一元二次方程的应用 25章 图形的相似
25.1 1比例线段
、如果选用同一度量单位，量得线段 a b
和 的长度分别为 m 和 n ，我们就把 m 和 n 的比叫做线段 a 和 b 的比，记作 a : b
m: n ，或
a
m 。
b n
2、在四条线段 a,b, c,d 中，如果 a 与 b 的比等于
a c
c 与 d 的比，即
，我们就把这四条
b
d
线段叫做 成比例线段 ，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 3、比例的基本性质 如果
a
c
，那么 ad
bc。
b
d
如果 ad
bc ，那么
a
c
（ b, d 0 ）
a
b
b d
特别地，如果
，即 b2
ac ，就把 b 叫做 a,c 的比例中项。
b
c
如果
a
c ...
m k ，那么
a
c ... m k
b
d
n
b d ... n
2
4、黄金分割
在线段 AB 上有一点 C，如果点 C 把 AB 分成的两条线段
AC 和 BC 满足
ACBC
，那么
AB AC
称线段 AB 被点 C 黄金分割 ，点 C 称为线段 AB 的 黄 金 分 割 点 ，
AC
称 为 黄 金 比 。 黄 金 比
A
E
E
AB
AC AB
5 1 2
0.618
D
A
D
每条线段上的黄金分割点都有两个。 25.2 平行线分线段成比例
B
C B
C
（1) 基本事实
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。
对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（ AB 与 DE、 BC 与 EF、AC 与 DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。
AB BC
DE , AB EF AC DE , BC DF AC
EF DF
，所得的对应线段成比例。
（2）推论 1
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）
AD AB
AE , AD AC DB AE , BD EC AB
CE AC
（3） 推论 2
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。 在△ ABC 中， DE∥ BC ，
A
D
B
E
AD
AB
AE
AC
DE
C
BC
25.3 相似三角形
（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做
相似三角形 ，相似三角形对应边的比叫
做它们的 相似比 。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 （2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边 相似。
25.4 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理
(1) 两角对应相等的两个三角形相似。
(2) 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3) 三条边对应成比例的两个三角形相似。
(4) 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
（或两边的延长线） 相交，所截得的三角形与原三角形
A
D E
l 1
B
l 2
25.5 相似三角形的性质
C
F
相似三角形的性质定理
（ 2）相似三角形周长的比等于相似比。 （ 3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
l 3
（ 1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。
3
25.6 相似三角形的应用
25.7 相似多边形和图形的位似
（1）形状相同的图形称为 相似图形 。一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做 相似多边形 。相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或
重合），我们把这样的两个图形称为 位似图形 ，对应顶点所在直线的交点称为 位似中心 ，这时的相似比又称 位似比 。 （3）位似图形的画法
确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）
；
选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线；根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点； ④顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。 26章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数
1、如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°
∠A 的对边 与邻 边的 比叫 做 ∠ A 的 正切 ，记作 tanA ，即
tan A
A的对边 A的邻边
a b
的正 弦， 记作 sinA ，即
∠A 的对 边 与 斜边 的 比叫 做 ∠ A
sin A
A的对边
a
斜边 c
∠ A 的余弦，记作
∠A 的邻边与斜边的比叫做
cos A
cosA ， 即
A的邻边 斜边
b c
2、一些特殊角的三角函数值
30°
sin α
45° 60°
1
2
3 2
2 2 2 2
1
3
2
cos α
1 2
3
tan α
3 3
3、在直角三角形中，锐角 α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角 α变化时，相应的比值也会发生相应的变化。 我们把锐角 α的正弦、余弦和正切统称为 为方便起见，今后将
α的三角函数。
2
4
sin
2
, cos
2
, tan 分别记作 sin 2 ,cos2 , tan 2 。
26.2 锐角三角函数的计算 26.3 解直角三角形
1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2、在 Rt △ ABC 中，∠ C=90° 三边之间的关系是 a2 b2
c2 ；
两锐角之间的关系是
A B
90 ；
边角之间的关系是
sin A
A的对边 斜边 A的邻边 斜边
a
c
b
cos A
c
a b
tan A
A的对边 A的邻边
在边角之间的关系中， 将∠ A 换成∠ B ，同时将 a,b 交换，即可得到∠ B 与边之间的关系式。
根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边）
，就可以求出其他三个
元素。
26.4 解直角三角形的应用 我们通常把坡面的垂直高度
h 和水平宽度 l 的比 叫做坡面的坡度（或坡比）
h
，坡面与水平
面的夹角 α叫做坡角。显然， tan
h l
l
27章 反比例函数 27.1 反比例函数
一般地，如果变量 y 和变量 x 之间的函数关系可以表示成
y
k
(k为常数，且 k 0) 的形
x
式，那么称 y 为 x 的反比例函数， k 称为比例系数， 自变量 x 的取值范围是不等于 27.2 反比例函数的图像和性质 反比例函数 y
0 的实数。
k
x
(k为常数，且 k 0) 的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这
样的曲线叫做双曲线。 对于反比例函数 y
k x
，当 k>0 时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内， k<0 时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，
y 的值随
y 的值随 x 的
x 的值增大而减小；当 值增大而增大。
27.3 反比例函数的应用
5
(完整word版)冀教版九年级数学上册知识点.docx
