∴?＝3，
故选：B． 12．若关于x的方程
则实数a的取值范围为（ ） A．
B．
C．
D．
有两个不同解，
【分析】设t＝sinx+cosx，由正弦公式和正弦函数的图象和性质，可得t的范围，进而原方程即为t﹣t2+2﹣a＝0即a＝﹣t2+t+2在[0，得所求范围． 解：关于x的方程设t＝sinx+cosx＝t∈[0，
sin（x+
），由x∈[﹣
，
]，可得x+
， ∈[0，
]，
]有两解，由二次函数的图象和性质，可
]，且t随着x的增大而增大；
]有两解，
又2sinxcosx＝t2﹣1，原方程即为t﹣t2+2﹣a＝0即a＝﹣t2+t+2在[0，由f（t）＝﹣t2+t+2在[0，]递增，{，， 则2≤a＜． 故选：D．
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知向量＝（1，【分析】可求出向量解：∵∴故答案为：
．
），＝（2，0），则|﹣2|＝ 的坐标，进而可求出， ．
．
]递减，可得f（t）的最大值为，最小值为
的值．
14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则?的值为
．
【分析】由题f（0）＝sinφ＝．及图象特征，可得φ． 解：由题意知，f（x）＝sin（ωx+φ），∵f（0）＝sinφ＝． ∵0＜φ＜π，根据图象特征，可得φ＝故答案为：15．已知sin（
．
+x）＝﹣，则sin2（
）＝
﹣x）﹣sin（π﹣x）的值
．
．
【分析】由已知中sin（x+可得sin（
﹣x）＝sin（x+
，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，
﹣x）＝cos2（x+
）＝1﹣sin2（x+
），
），sin2（
代入可得答案． 解：∵sin（x+∴sin（sin2（∴sin2（故答案为：
）＝
，
）]＝sin（x+）]＝cos2（x+
+＝
． ）＝
，
）＝
，
﹣x）＝sin[π﹣（x+﹣x）＝sin2[
﹣（x+
）＝1﹣sin2（x+
﹣x）﹣sin（π﹣x）＝．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3．以C为圆心，2为半径作圆，线段PQ为该圆的一条直径，则
的最小值为 ﹣10 ．
【分析】先建系，再标各点的坐标，再结合平面向量数量积的运算及三角函数辅助角公式运算可得解．
解：设C（0，0），A（a，0），B（0，b），P（2cosα，2sinα），Q（﹣2cosα，﹣2sinα），则a2+b2＝9，又则
＝（2cosα﹣a，2sinα），
＝（﹣2cosα，﹣2sinα﹣b），
＝（2cosα﹣a）（﹣2cosα）+2sinα（﹣2sinα﹣b）
＝﹣4+2acosα﹣2bsinα ＝﹣4+2
cos（α+β）
＝6cos（α+β）﹣4，（其中tanβ＝） 则当cos（α+β）＝﹣1时，故答案为：﹣10．
的最小值为﹣10，
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）． （1）求3+﹣2；
（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．
【分析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式计算即可得答案．
（2）根据题意，求出（+k）和（2﹣）的坐标，由向量平行的坐标计算公式可得2×（3+4k）﹣（﹣5）×（2+k）＝0，解可得k的值，即可得答案． 解：（1）根据题意，向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）， 则3+﹣2＝3（3，2）+（﹣1，2）﹣2（4，1） ＝（0，6）；
（2）向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）， 则（+k）＝（3+4k，2+k），（2﹣）＝（﹣5，2），
若（+k）∥（2﹣），则2×（3+4k）﹣（﹣5）×（2+k）＝0， 解可得k＝﹣故k＝﹣
．
；
18．疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产KN95口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于70的为合格品，否则为不合格品，现随
机抽取100件口罩进行检测，其结果如表： 测试分数 数量
[50，60）
4
[60，70）
16
[70，80）
42
[80，90）
24
[90，100]
14
（Ⅰ）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； （Ⅱ）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数；
（Ⅲ）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取5件，再从这5件口罩中随机抽取2件，求这2件口罩全是合格品的概率．
【分析】（1）在抽取的100件产品中，不合格的口罩有：4+16＝20，由此能估计该公司所生产口罩的不合格率．
（2）由频数分布表能求出平均测试分数．
（3）由题意所抽取的5件口罩中不合格的1件，合格的4件．设4件合格口罩记为a，b，c，d，1件不合格口罩记为x．从5件口罩中抽取2件，利用列举法能求出2件口罩全是合格品的概率．
解：（1）在抽取的100件产品中，不合格的口罩有：4+16＝20（件） 所以口罩为不合格品的频率为
，
根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为． （2）平均测试分数为
（3）由题意所抽取的5件口罩中不合格的1件，合格的4件． 设4件合格口罩记为a，b，c，d，1件不合格口罩记为x．
若抽取的口罩中恰有1件不合格，则共有ax，bx，cx，dx，4种情况，
而从5件口罩中抽取2件，共有ab，ac，ad，ax，bc，bd，bx，cd，cx，dx，10种情况，所以2件口罩中至少有一件不合格品的概率为故2件口罩全是合格品的概率为19．已知α，β为锐角，（1）求cos2α的值； （2）求tan（β﹣α）的值．
【分析】（1）由已知结合同角基本关系进行弦化切，代入可求；
．
． ．
，
（2）由已知结合同角基本关系及两角差的正切公式即可求解． 解：（1）由tanα＝
，得cos2α＝
＝
＝
＝﹣．
（2）由α，β为锐角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π）， 又cos（α+β）＝由则
20．已知函数f（x）＝﹣4）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）先化简并整解析式，再利用正弦函数的性质即可求解． （Ⅱ）利用正弦函数整体的性质求解即可． 解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝（2x+∴＝＝
，
∵（Ⅱ）∵∴当当
，
，可得．
时，函数f（x）有最大值﹣1； 时，函数f（x）有最小值﹣2．
sinωx（A＞0，ω＞0）
；
．
；k∈Z；
），﹣4）．
．
?
，x∈[
，
]，其中＝（
，cos2x），＝（sin
?
，x∈[
，
]，其中＝（
，得
，∴sin（α+β）＝
，
，
．
，cos2x），＝（sin（2x+
），
．
21．如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数f（x）＝
2024-2024学年河南省郑州市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
