《概率论与数理统计》复习资料
一、复习提纲
注:以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围,仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准;注明“了解”的内容一般不考。
1、 会事件关系的运算,了解概率的古典定义 2、 能较熟练地求解古典概率;了解概率的公理化定义
3、 掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算;理解条件概率的概念;掌握加法公式与乘法公式 4、 能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题;掌握事件独立性的概念及性质。
5、 理解随机变量的概念,掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、 理解分布函数的概念及性质,理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。 7、 掌握指数分布(参数
?)、均匀分布、正态分布
8、 会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。 9、 会求分布中的待定参数。会求区间的概率.
10、 会求边缘分布律、边缘密度函数,会判别随机变量的独立性。 11、 掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。
12、 理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,
掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。 13、 会求二维离散型随机变量函数的分布率.
14、 掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的
数学期望及方差。
15、 较熟练地求协方差与相关系数.
16、 会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、 理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,样本均值与样本方差及样本矩概念,掌握?2分布(及性质)、t分
布、F分布及其分位点概念。
18、 理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理;会用矩估计方法来估计未知参数。 19、 掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法。 20、 会求单正态总体均值与方差的置信区间。 21、 会求单正态总体均值的假设检验。 二、各章知识要点 第一章
随机事件与概率
1.事件的关系 A?B A?B AB A?B A ? ? AB?? 2.运算规则 (1)A?B?B?A AB?BA (2)(A?B)?C?A?(B?C) (AB)C?A(BC)
(3)(A?B)C?(AC)?(BC) (AB)?C?(A?C)(B?C) (4)A?B3.概率P(A)满足的三条公理及性质: (1)0?P(A)?1 (2)P(?)?1 (3)对互不相容的事件
?AB AB?A?B
A1,A2,?,An,有P(?A)??P(A) (n可以取?)(可列可加性)
kknnk?1k?1性质:(4)P(?)?0 (5)P(A)?1?P(A)
A?B,则P(B?A)?P(B)?P(A),P(A)?P(B)
(7)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB),因此, P(A?B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道
(6)P(A?B)?P(A)?P(AB),若
三个,剩下一个就能够求出来.
特别的若A与B互不相容, 则P(A?B)=P(A) +P(B);
若A与B独立, 则P(A?B)=P(A) +P(B)-P(A)P(B)= 1?P(A)P(B);
(8)P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
4.古典概型:基本事件有限且等可能 5.条件概率
(1)
定义:若P(B)?0,则
P(A|B)?P(AB), P(B)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
(2)
乘法公式:P(AB)?P(A|B)P(B)
若B1,B2,?(3)
Bn为完备事件组,P(Bi)?0,则有
全概率公式: P(A)??P(A|Bi)P(Bi)
i?1n(4) Bayes公式:
P(Bk|A)?P(A|Bk)P(Bk)
?P(A|B)P(B)iii?1n7.事件的独立性:
A, B独立?P(AB)?P(A)P(B) (注意独立性的应用,求相互独立的多个事件的和的概率)
第二章 随机变量与概率分布
1. 离散随机变量:取有限或可列个值,P(X(2)?xi)?pi满足(1)pi?0,
?pi=1
i (3)对任意D?R,P(X?D)?i: xi?D?pi
2. 连续随机变量:具有概率密度函数
bf(x),满足(1)f(x)?0, ???-?f(x)dx?1;
(2)P(a(3)对任意a?R,P(X?a)?0 ?X?b)??f(x)dx;
a3. 几个常用随机变量
名称与记号 分布列或密度 数学期望 方差 P(X?1)?p,P(X?0)?q?1?p 0-1分布B(1,p) 或P(Xp ?k)?pkq1?k,k?0,1 pq 二项式分布B(n,p) kP(X?k)?Cnpkqn?k,k?0,1,2,?n, np npq Poisson分布P(?) P(X?k)??kk!e??,k?0,1,2,? ? a?b 2? (b?a)212均匀分布U(a,b) 1f(x)?, a?x?b, b?af(x)??e??x, x?0 f(x)?12??e? (x??)22?2 指数分布E(?) 1? 1?2 正态分布N(?,?2) ? ?2 4. 分布函数 F(x)?P(X?x),具有以下性质
(1)F(??)?0, F(??)?1;(2)单调不减;(3)右连续;
(4)P(a?X?b)?F(b)?F(a),特别P(X?a)?1?F(a);
F(x)?i: xi?x (5)对离散随机变量,
?px??;
i (6)对连续随机变量,F(x)??f(t)dt为连续函数,且在f(x)连续点上,F(x)?f(x)
'分布函数F(x)是一个普通的函数,它表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率
5. 正态分布的概率计算 以?(x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数,则有 (1)?(0)x??(2)?(?x)?1??(x);(3)若X~N(?,?2),则?0.5;~N(0,1) ;
? (4)以u?记标准正态分布N(0,1)的上侧?分位数,则P(X?u?)???1??(u?)
正态分布的概率密度具有如下性质:
1°
f(x)的图形是关于x??对称的;
2° 当x??时,3°
f(?)?12??为最大值;
f(x)以ox轴为渐近线。
?g(X)
6. 随机变量的函数 Y随机变量Y是随机变量X的函数Y?g(X),若X的分布函数FX(x)或密度函数fX(x)知道,则如何
求出Y?g(X)的分布函数FY(y)或密度函数fY(y)。
X是离散型随机变量 已知X的分布列为
(1) 显然,Yx1,x2,?,xn,?XP(X?xi)p1,p2,?,pn,?,
?g(X)的取值只可能是g(x1),g(x2),?,g(xn),?,
,若g(xi)互不相等,则
Y的分布列如
g(x1),g(x2),?,g(xn),?Y下:
P(Y?yi)p1,p2,?,pn,?若有某些g(xi)相等,则应将对应的Pi相加作为g(xi)的概率。
(2)
X连续,g(x)在X的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则fY(y)?fX(g?1(y))|(g?1(y))'|,
若不单调,先求分布函数,再求导。
第三章 多维随机变量
1、二维随机变量的基本概念
(1)二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布
如果二维随机向量?(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y)时,则称?为离散型随机量。理解:(X=x,Y=y)≡(X=x∩Y=y)
概率论与数理统计复习资料要点总结--学生
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