《概率论与数理统计》复习资料
一、复习提纲
注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、 会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、 能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义
3、 掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、 能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、 理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、 理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。 7、 掌握指数分布(参数
?)、均匀分布、正态分布
8、 会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。 9、 会求分布中的待定参数。会求区间的概率.
10、 会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。 11、 掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。
12、 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，
掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、 会求二维离散型随机变量函数的分布率.
14、 掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的
数学期望及方差。
15、 较熟练地求协方差与相关系数.
16、 会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、 理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握?2分布(及性质)、t分
布、F分布及其分位点概念。
18、 理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 19、 掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。 20、 会求单正态总体均值与方差的置信区间。 21、 会求单正态总体均值的假设检验。 二、各章知识要点 第一章
随机事件与概率
1．事件的关系 A?B A?B AB A?B A ? ? AB?? 2．运算规则 （1）A?B?B?A AB?BA （2）(A?B)?C?A?(B?C) (AB)C?A(BC)
（3）(A?B)C?(AC)?(BC) (AB)?C?(A?C)(B?C) （4）A?B3．概率P(A)满足的三条公理及性质： （1）0?P(A)?1 （2）P(?)?1 （3）对互不相容的事件
?AB AB?A?B
A1,A2,?,An，有P(?A)??P(A) （n可以取?）(可列可加性)
kknnk?1k?1性质:（4）P(?)?0 （5）P(A)?1?P(A)
A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)，P(A)?P(B)
（7）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，因此, P(A?B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道
（6）P(A?B)?P(A)?P(AB)，若
三个,剩下一个就能够求出来.
特别的若A与B互不相容, 则P(A?B)=P(A) +P(B)；
若A与B独立, 则P(A?B)=P(A) +P(B)-P(A)P(B)= 1?P(A)P(B)；
（8）P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．条件概率
（1）
定义：若P(B)?0，则
P(A|B)?P(AB), P(B)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（2）
乘法公式：P(AB)?P(A|B)P(B)
若B1,B2,?（3）
Bn为完备事件组，P(Bi)?0，则有
全概率公式： P(A)??P(A|Bi)P(Bi)
i?1n（4） Bayes公式：
P(Bk|A)?P(A|Bk)P(Bk)
?P(A|B)P(B)iii?1n7．事件的独立性：
A, B独立?P(AB)?P(A)P(B) （注意独立性的应用,求相互独立的多个事件的和的概率）
第二章 随机变量与概率分布
1． 离散随机变量：取有限或可列个值，P(X（2）?xi)?pi满足（1）pi?0，
?pi=1
i （3）对任意D?R，P(X?D)?i: xi?D?pi
2． 连续随机变量：具有概率密度函数
bf(x)，满足（1）f(x)?0, ???-?f(x)dx?1；
（2）P(a（3）对任意a?R，P(X?a)?0 ?X?b)??f(x)dx；
a3． 几个常用随机变量
名称与记号 分布列或密度 数学期望 方差 P(X?1)?p，P(X?0)?q?1?p 0-1分布B(1,p) 或P(Xp ?k)?pkq1?k,k?0,1 pq 二项式分布B(n,p) kP(X?k)?Cnpkqn?k,k?0,1,2,?n， np npq Poisson分布P(?) P(X?k)??kk!e??,k?0,1,2,? ? a?b 2? (b?a)212均匀分布U(a,b) 1f(x)?, a?x?b， b?af(x)??e??x, x?0 f(x)?12??e? (x??)22?2 指数分布E(?) 1? 1?2 正态分布N(?,?2) ? ?2 4． 分布函数 F(x)?P(X?x)，具有以下性质
（1）F(??)?0, F(??)?1；（2）单调不减；（3）右连续；
（4）P(a?X?b)?F(b)?F(a)，特别P(X?a)?1?F(a)；
F(x)?i: xi?x （5）对离散随机变量，
?px??；
i （6）对连续随机变量，F(x)??f(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F(x)?f(x)
'分布函数F(x)是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率
5． 正态分布的概率计算 以?(x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数，则有 （1）?(0)x??（2）?(?x)?1??(x)；（3）若X~N(?,?2)，则?0.5；~N(0,1) ；
? （4）以u?记标准正态分布N(0,1)的上侧?分位数，则P(X?u?)???1??(u?)
正态分布的概率密度具有如下性质：
1°
f(x)的图形是关于x??对称的；
2° 当x??时，3°
f(?)?12??为最大值；
f(x)以ox轴为渐近线。
?g(X)
6． 随机变量的函数 Y随机变量Y是随机变量X的函数Y?g(X)，若X的分布函数FX(x)或密度函数fX(x)知道，则如何
求出Y?g(X)的分布函数FY(y)或密度函数fY(y)。
X是离散型随机变量 已知X的分布列为
（1） 显然，Yx1,x2,?,xn,?XP(X?xi)p1,p2,?,pn,?，
?g(X)的取值只可能是g(x1),g(x2),?,g(xn),?，
，若g(xi)互不相等，则
Y的分布列如
g(x1),g(x2),?,g(xn),?Y下：
P(Y?yi)p1,p2,?,pn,?若有某些g(xi)相等，则应将对应的Pi相加作为g(xi)的概率。
（2）
X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则fY(y)?fX(g?1(y))|(g?1(y))'|，
若不单调，先求分布函数，再求导。
第三章 多维随机变量
1、二维随机变量的基本概念
（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布
如果二维随机向量?（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称?为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）≡（X=x∩Y=y）
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