设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，
连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN， ∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M， ∵M（1，0），N（4，0）， ∴OM＝1，MN＝3， ∴MH＝HN＝MN＝， 设O′P＝OH＝O′M＝x， MH＝OH﹣OM＝x﹣1， ∴x﹣1＝， ∴x＝， ∴O′H＝∴OP＝2，
∴点P的坐标为（0，2）；
②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：
＝
＝2，
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同理可得O′H＝OP＝2， ∴点P的坐标为（0，﹣2）；
综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣27．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAF， ∴∠OAD＝∠FAD， ∴∠ODA＝∠FAD， ∴OD∥AF， ∵DE⊥AF， ∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切：
（2）解：连接BD，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°＝∠ADB， 又∵∠EAD＝∠DAB， ∴△AED∽△ADB，
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2）．
∴AD：AB＝AE：AD， ∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝
＝
＝4；
（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示： 在△AED和△AGD中，∴△AED≌△AGD（AAS）， ∴AE＝AG，DE＝DG， ∵∠FAD＝∠DAB， ∴
＝
，
，
∴DF＝DB，
在Rt△DEF和Rt△DGB中，∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL）， ∴EF＝BG，
∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF， 即：x+2y＝10， ∴y＝﹣x+5，
∴AE?EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）+
，
．
，
∴AF?EF有最大值，当x＝5时，AF?EF的最大值为
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28．【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0）， 可得a＝﹣，b＝﹣， ∴y＝﹣x2﹣x+6；
（2）①∵A（﹣4，0），E（0，﹣2）， ∴AE＝2
，AE的直线解析式y＝﹣x﹣2，
设D（m，﹣m2﹣m+6），
过点D与AE垂直的直线解析式为y＝2x﹣m2﹣m+6， 两直线的交点为G（∴DG＝﹣
m2+m﹣
，﹣， ， ＝
；
m2﹣
m﹣），
（（m+）2+
当m＝﹣时，DQ最大为∴S△ADE＝
2
×
②过点A作AN⊥DE，DE与x中交于点F， ∵tan∠AED＝， ∴AN＝
，NE＝3
，
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Rt△AFN∽Rt△EFO， ∴
＝
，
∵EF2＝OF2+4， ∴NF＝3∴
＝
﹣EF，
，
∴OF＝2， ∴F（﹣2，0），
∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2， ∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6时，x＝∴D（
，
）；
，
（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动， ∴Q点的运动轨迹是线段， 当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4）， 当P点在C点时，Q（﹣6，6）， ∴Q点的轨迹长为2故答案为2
．
，
第20页（共20页）
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级(上)期末数学试卷
