设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆,
连接O′P、O′M、O′N,作O′H⊥MN于H,则四边形OPO′H是矩形,MH=HN, ∴OP=O′H,O′P=OH=O′M, ∵M(1,0),N(4,0), ∴OM=1,MN=3, ∴MH=HN=MN=, 设O′P=OH=O′M=x, MH=OH﹣OM=x﹣1, ∴x﹣1=, ∴x=, ∴O′H=∴OP=2,
∴点P的坐标为(0,2);
②当点P在y轴的负半轴上时,如图4所示:
=
=2,
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同理可得O′H=OP=2, ∴点P的坐标为(0,﹣2);
综上所述,当∠MPN度数最大时点P的坐标为(0,2)或(0,﹣27.【解答】(1)证明:连接OD,如图1所示: ∵OD=OA, ∴∠OAD=∠ODA, ∵AD平分∠BAF, ∴∠OAD=∠FAD, ∴∠ODA=∠FAD, ∴OD∥AF, ∵DE⊥AF, ∴DE⊥OD,
又∵OD是⊙O的半径, ∴DE与⊙O相切:
(2)解:连接BD,如图2所示: ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∵DE⊥AF,
∴∠AED=90°=∠ADB, 又∵∠EAD=∠DAB, ∴△AED∽△ADB,
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2).
∴AD:AB=AE:AD, ∴AD2=AB×AE=10×8=80, 在Rt△AED中,由勾股定理得:DE=
=
=4;
(3)连接DF,过点D作DG⊥AB于G,如图3所示: 在△AED和△AGD中,∴△AED≌△AGD(AAS), ∴AE=AG,DE=DG, ∵∠FAD=∠DAB, ∴
=
,
,
∴DF=DB,
在Rt△DEF和Rt△DGB中,∴Rt△DEF≌Rt△DGB(HL), ∴EF=BG,
∴AB=AG+BG=AF+EF=AF+EF+EF=AF+2EF, 即:x+2y=10, ∴y=﹣x+5,
∴AE?EF=﹣x2+5x=﹣(x﹣5)+
,
.
,
∴AF?EF有最大值,当x=5时,AF?EF的最大值为
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28.【解答】解:(1)将A(﹣4,0),B(2,0)代入y=ax2+bx+6(a≠0), 可得a=﹣,b=﹣, ∴y=﹣x2﹣x+6;
(2)①∵A(﹣4,0),E(0,﹣2), ∴AE=2
,AE的直线解析式y=﹣x﹣2,
设D(m,﹣m2﹣m+6),
过点D与AE垂直的直线解析式为y=2x﹣m2﹣m+6, 两直线的交点为G(∴DG=﹣
m2+m﹣
,﹣, , =
;
m2﹣
m﹣),
((m+)2+
当m=﹣时,DQ最大为∴S△ADE=
2
×
②过点A作AN⊥DE,DE与x中交于点F, ∵tan∠AED=, ∴AN=
,NE=3
,
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Rt△AFN∽Rt△EFO, ∴
=
,
∵EF2=OF2+4, ∴NF=3∴
=
﹣EF,
,
∴OF=2, ∴F(﹣2,0),
∴EF直线解析式为y=﹣x﹣2, ∴﹣x﹣2=﹣x2﹣x+6时,x=∴D(
,
);
,
(3)∵Q点随P点运动而运动,P点在线段AC上运动, ∴Q点的运动轨迹是线段, 当P点在A点时,Q(﹣4,﹣4), 当P点在C点时,Q(﹣6,6), ∴Q点的轨迹长为2故答案为2
.
,
第20页(共20页)
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级(上)期末数学试卷
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