韦达定理的应用
(Ⅰ)设出点M,N的坐标,利用点差法计算可得a2?4b2,结合焦点坐标有a2?b2?3,据此计
的方程就是x2算可得椭圆C4?y2?1;
(Ⅱ)设A,B分别为直线l与椭圆与圆的切点, A?x0,y0?,联立直线与椭圆的方程有
?1?4k2?x2?8kmx?4m2?4?0,利用判别式??0,可得x4k0??m, y10?m,直线l与,则圆心到直线的距离等于半径,据此可得k2?r2?13r2圆相切24?r2, m?4?r2,则
|AB|2?5???42??r2?r??,结合绝对不等式的结论有当r?2??1,2?时, AB的最大值就是
1、 试题解析
(Ⅱ)设A,B分别为直线l与椭圆与圆的切点, A?x0,y0?,
韦达定理的应用
r2?116?1216k2?12?4222222?4?r??r , ?r|AB|?x0?y0?r ??5??r??2223rm?r?4?r2因为
442?422??r?2?r?4,当时取等号,所以r?2?1,25??r?1, ????222rr?r?2??1,2?时, AB的最大值就是1
22因此当r?6、【2016高考新课标1卷】设圆x?y?2x?15?0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E、 (I)证明EA?EB为定值,并写出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围、
x2y2??1(y?0)(II)[12,83) 【答案】(Ⅰ)43【解析】
(Ⅰ)因为|AD|?|AC|,EB//AC,故?EBD??ACD??ADC, 所以|EB|?|ED|,故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|、
又圆A的标准方程为(x?1)?y?16,从而|AD|?4,所以|EA|?|EB|?4、 由题设得A(?1,0),B(1,0),|AB|?2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:
22x2y2??1(y?0)、 43(Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y?k(x?1)(k?0),M(x1,y1),N(x2,y2)、
?y?k(x?1)?2222由?x2y2得(4k?3)x?8kx?4k?12?0、
?1??3?48k24k2?12则x1?x2?,x1x2?、 24k?34k2?3韦达定理的应用
12(k2?1)所以|MN|?1?k|x1?x2|?、
4k2?32过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y??21(x?1),A到m的距离为2,所以 kk?14k2?3|PQ|?24?()?4、故四边形MPNQ的面积 22k?1k?1222S?11|MN||PQ|?121?2、 24k?3可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)、
当l与x轴垂直时,其方程为x?1,|MN|?3,|PQ|?8,四边形MPNQ的面积为12、 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)、 6、如图,P为圆M:x?3线交线段MP于点N. (1)求动点N的轨迹方程;
(2)记动点N的轨迹为曲线 C,设圆O:x?y?2的切线l交曲线C于A,B两点,求
22??2?y2?24上的动点,定点Q?3,0,线段PQ的垂直平分
??OAgOB的最大值.
x2y2??1;(2)32. 【答案】(1)63【解析】
(1)因为NM?NQ?NM?NP?MP?26?23?MQ,
所以动点N的轨迹为椭圆,........................................2分
韦达定理的应用
∴a?6,c?3,∴b2?3,
x2y2??1;....................................5分 ∴动点N的轨迹方程为63(2)①当切线l垂直坐标轴时,OAgOB?4;.................................6分 ②当切线l不垂直坐标轴时,设切线l的方程:y?kx?m?k?0?,点A?x1,y1?,B?x2,y2?,由直线与圆相切,得m?2?2k 由?22?y?kx?m得,?2k2?1?x2?4kmx?2m2?6?0, 22?x?2y?64km2m2?6,x1x2?∴x1?x2??2
2k?12k2?1∴x1x2?y1y2?x1x2??kx1?m?g?kx2?m??k2?1x1x2?km?x1?x2??m2
??2m2?64km3m2?6?6k22??k?1?g2?kmg2?m??0, 22k?12k?12k?12∴?AOB?90,∴OAgOB?2AB..........................10分
222221?kg8k?2????212k?2m?622?又∵AB?1?kx1?x2?1?kg,
2k2?12k2?102令t?k,则AB?22?2t2?22??3,
14t2?4t?14t??4t当且仅当k?2时,等号成立, 2∴OAgOB?32, 综上,OAgOB的最大值为32................12分
Y型韦达定理
27.【2024广西南宁高三摸底】已知抛物线C y=ax(a＞0)上一点P(t, 为2t.
(l)求抛物线C的方程;
2
1)到焦点F的距离2韦达定理的应用
(2)抛物线上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,﹣1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为K 1,K 2,求证k1?k2为定值. 【答案】(1)y?x;(2)证明见解析、
【解析】试题分析 (1)由抛物线的定义可知PF?t?2a?2t,可求抛物线的标准方程;(2)42?1?的直线l的方程为x?3?m?y?1?,即x?my?m?3,代入y?x利用韦设过点Q?3，达定理,结合斜率公式,化简即可求k1?k2的值、 试题解析 (1)由抛物线的定义可知PF?t?则
a1在抛物线上,?2t,则a?4t,由点P（t，）42at?14,
点睛 本题考查抛物线方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题;运用抛物线上的点到焦点距离为d?x0?p就是解题的关键,联2立直线与抛物线的方程,运用“整体代换,设而不求”的思想就是常用的手段、
韦达定理的应用
