韦达定理的应用

韦达定理的应用

韦达定理 x型韦达定理

24.【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆x?y?4x?28?0的圆心为A,直线l过点

22B?2,0?且与x轴不重合, l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E、

(1)证明EA?EB为定值,并写出点E的轨迹方程;

(2)设Q?0,2?,过点P??1,?2?作直线l?,交点E的轨迹于M,N两点 (异于Q),直线

QM,QN的斜率分别为k1,k2,证明 k1?k2为定值、

x2y2【答案】(1) ??1?y?0? (2)见解析、

84

解析 (1)如图,因为AD?AC, EB//AC,故?EBD??ACD??ADC,所以

EB?ED,故EA?EB?EA?ED?AD,又圆A的标准方程为?x?2??y2?32,

从而AD?42,所以EA?EB?42,有题设可知A??2,0?,B?2,0?,

2韦达定理的应用

x2y2EA?EB?42?AB?4由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为??1?y?0?、

84(2)设M?x1,y1?,N?x2,y2?,

?14??14?当l?的斜率不存在时,此时l?:x??1此时容易解出M,N的坐标??1,,???,???1,?2??2????此k1?k2?2?1414?2??4时、 22综上可知k1?k2?4、

点睛 (1)动点的轨迹问题,先考虑动点就是否有几何性质,然后利用曲线的定义写出曲线方程、(2)解析几何中的定点定值问题,通常把目标转化为x1?x2,x1x2(或y1?y2,y1y2)的整体,再用韦达定理转化即可、

x2y225.【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?与直线l:bx?ay?0ab韦达定理的应用

都经过点M22,2、直线m与l平行,且与椭圆C交于A,B两点,直线MA,MB与x轴分别交于E,F两点、

(1)求椭圆C的方程;(2)证明 ?MEF为等腰三角形、

??x2y2【答案】(1) ??1;(2)证明见解析、

164【解析】试题分析 (1)将点M分别代入直线方程及椭圆方程,即可求得a与b的值,求得椭圆方程;

(2)设直线m的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式求得 MA+ MB=0,即可求得△MEF为等腰三角形. 试题解析

(1)由直线l:bx?ay?0都经过点M22,2,则a=2b,将M22,2代入椭圆方程

????x2y2?2?12ab ,

kMA?y1?2y?2,kMB?2,

x1?22x2?22x1x2?b?22kMA?kMB??x?21???x?x?,

2??x?22?122韦达定理的应用

?2b2?8?42b?2b2?42b?8?x?22??x12?22?, ?0,

所以?MEF为等腰三角形、

点睛 本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查计算能力,证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之与为0就是关键、

30.【2018辽宁沈阳高三质监三】已知定直线l:y?x?3,定点A?2,1?,以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切、 学( ) (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之与就是否为定值？ 若就是定值,请求出该定值;若不就是定值请说明理由、

x2y2【答案】(1)??1(2)OM,ON斜率之与为定值0

63【解析】试题分析 (Ⅰ)设椭圆的标准方程为mx?ny?1(m?0,n?0,m?n),由题意构建关于a，b的方程组,即可得椭圆方程.

(Ⅱ)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),可知PQ∥MN,所以 PQ= MN=1,

设直线PQ的方程为y=x+t,代入椭圆方程并化简得 3x+4tx+2t﹣6=0,利用韦达定理可计算

2

2

22kOM?kON?0

试题解析

(Ⅰ)设椭圆的标准方程为mx?ny?1(m?0,n?0,m?n) 椭圆C过点A,所以4m?n?1①,

将y?x?3代入椭圆方程化简得 ?m?n?x?6nx?9n?1?0,

222韦达定理的应用

因为直线l与椭圆C相切,所以???6n??4?m?n??9n?1??0②,

2x2y211解①②可得, m?,n?,所以椭圆方程为??1;

6363(Ⅱ)设点P?x1,y1?,Q?x2,y2?,则有M??x1?2y1?1??x2?2y2?1?,,?,N??, 2222????由题意可知PQPMN,所以kPQ?kMN?1,设直线PQ的方程为y?x?t, 代入椭圆方程并化简得 3x?4tx?2t?6?0

224t3由题意可知{ ③ 22t?6x1x2?3x1?x2??

点睛 定点、定值问题通常就是通过设参数或取特殊值 确定“定点”就是什么、“定值”就是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式就是恒定的、 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现、

含点代入椭圆的应用

x2y232.【2018河南洛阳高三第一次统考】已知短轴长为2的椭圆E:2?2?1(a?b?0),

ab直线n的横、纵截距分别为a,?1,且原点到直线n的距离为(1)求椭圆E的方程;

3. 2