2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1?8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一 个选
项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上? 1、
设 COSX 1 x sin (x)， (x) 5，当 x 0时，(x)()
(A) 比x高阶的无穷小(B)比x低阶的无穷小 (C)与x同阶但不等价的无穷小(D)与x是等价无穷小
【答案】(C)
【考点】同阶无穷小 【难易度】★★
【详解】Q cosx 1 x sin (x)， cosx 1 :
x sin (x):
1 2 1 x ，即卩 sin (x) : x 2 2
0，sin (x):
(x)
1
-x2 2
当 x 0 时，(x)
(x) :
1
-x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选(C).
2
2、 已知 y f (x)由方程 cos(xy) ln y x 1 确定，则 lim n[f(') 1]()
n
n
(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 【答案】(A)
【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】当x 0时，y 1.
方程cos(xy) ln y x 1两边同时对x求导，得 将x 0，y 1代入计算，得y(0) f (0)
2
所以，lim n[ f ( ) 1]
n n
2，选(A).
x
1
sinx [0, )
3、
2
[ ,2 ]
设 f (x) ，F(x) f(t)dt，贝U ()
0
(A) x 为F(x)的跳跃间断点(B) x 为F(x)的可去间断点 (C) F (x)在x 处连续不可导(D) F (x)在x 处可导
【答案】(C)
【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】QF(
0)
「
sintdt 0%
ntdt
sin tdt 2，F( 0) 2，
F(
0) F( 0)，F(x)在x 处连续.
x
x
0 f(t)dt 0 f(t)dt
00 f(t)dt )lim
0
f (t)dt 0，F ()
lim
x
x
x
故F(x)在x
处不可导.选 1 4、设函数f (x)
(x 1) 1
x e
1 ，若反常积分 f(x)dx收敛，则xln 1
x
e
(A) 2( B) 2( C) 0( D) 0
【答案】(D)
【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】
e
1 f(x)dx 1 f (x)dx
e
f (x)dx
f (x)dx收敛可知,
e 1 f(x)dx 与
f (x)dx均收敛.
e
e
1 f(x)dx
1 ?
dx，
(x 1)
1是瑕点, 因为 1kdx
收敛，所以
e f(x)dx
e
丄(1 nx)
要使其收敛，则 0
xln x [dx
所以，0
2，选 D.
5、设z — f (xy)，其中函数
z z x f可微,
y x y
()
2
2 (A) 2yf (xy) ( B) 2yf (xy) (C) 2
f (xy) ( D) - f (xy)
x
x
【答案】(A)
【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★ 【详解】 —
^2 f (xy)
止 f (xy)， —
- f (xy) yf (xy)
x
x x
y x
()
1
—f(xy) x
yf (xy)
1 -f (xy) x
yf (xy) 2yf (xy)，故选(A)
6、设Dk是圆域D (x, y) x2
Ik (y x)dxdy(k 1,2,3,4)，则()
Dk
y2 1位于第k象限的部分，记
(A) I1 0 (B) I2 0 (C) I3 0 (D) I4 0 【答案】(B)
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★
【详解】根据对称性可知，h I3
I2 (y x)dxdy 0(Q y x 0)， |4
D2
0.
(y x)dxdy 0 (Q y x 0)
D4
因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C且B可逆，贝U() (A) 矩阵C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价 (B) 矩阵C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价 (C) 矩阵C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价 (D) 矩阵C的列向量组与矩阵 B的列向量组等价 【答案】(B)
【考点】等价向量组 【难易度】★★
【详解】将矩阵A、C按列分块，A ( 1,L , n)，C ( 1,L , n)
bn L
bm M ( 1,L , n)
由于AB C，故(J ,
n
) M
bn1
L
L
bnn
即 1 11 1 n1 n丄 ,n Dn 1 nn n 即C的列向量组可由A的列向量组线性表示
b
L b
b
由于B可逆，故A CB 1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选(B)
1 a 1 aba 1 a 1
8矩阵
2 0 0
与0 b 0相似的充分必要条件是()
0 0 0
(A) a 0,b 2
(B) a 0,b为任意常数
(O a 2,b 0
(D) a 2,b为任意常数
【答案】(B)
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件
【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值 由0 b 0的特征值为2，b，0可知，矩阵A
aba的特征值也是2，b，0. 1 a 1
0 0 0
1
a 1 1
a 1
因此， 2E A
a 2 b a 1
a
1
0 2 b a2 2a
4a2
0
0 a 0
0 2a
1 0 1
将a 0代入可知，矩阵A 0
b 0的特征值为2，b，0. 1 0 1
此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选(B)
、填空题：9?14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题.纸.指定位置上.
c
ln(1 X)-
)x x
1
1
9、lim(2
x 0
【答案】e2
【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】
x ln(1 x)
x
-
2
其中,
1 - lim1
―x x 0
2x
女叫2x(1 x)
故原式=e2 10、设函数f(x) dx
f (x)的反函数x
1
(y)在y 0处的导数
dy 【答案】
1
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