第6届周培源全国大学生力学竞赛
样题的出题思路及说明
周培源全国大学生力学竞赛已经举办过5届。今年将进行第6届竞赛。与往届相比，本此竞赛的内容和风格将有较大的变化。根本的变化是：竞赛内容不再是单纯考试型的题目，而是融趣味性、综合性与动手实践为一体。
本次竞赛计划分为两部分：首先进行选拔赛，然后进行决赛。选拔赛面对全国各高校和研究所，可能将有上万人参加。选拔赛采用笔试的形式，根据选拔赛的成绩，以学校或研究所为单位，在全国范围内邀请20只队伍参加决赛。而决赛以动手试验为主。
具体出题的思路是：
选拔赛样题的特点是：（1）考查力学的基础知识以及对知识的灵活应用，通过一些有趣的场景引出问题。（2）每个样题的难度都分为3个层次，通常先考查学生是否了解该题目的性质；然后是过渡性的问题，比较简单；最后的问题一般有些难度。希望这样可以让大部分学生得到基本分，同时又可以使分数拉开档次。（3）样题中的问题既有客观题，也有主观题，希望从多个侧面了解学生的能力。（4）改变传统力学题目的形式，有正问题，也有反问题，反问题使学生有更多发散思考的空间。
选拔赛各题的知识点是：第1题“奇怪的独木桥”考查不同载荷对梁的弯矩影响；第2题“模特儿与新型舞台”考查是力与力矩的平衡，同时考虑不同情况下的变形协调条件；第3题“魔术师的箱子”表面上是静力学问题，实际上箱子里有文章，是动力学平衡问题；第4题“出人意料的交线”考查点的运动学以及定轴转动的动量矩定理。以上知识点都是教学中的基本要求，但是其中有些问题又有一定的灵活性和难度。
在决赛中，需要各队在给定时间、工具和材料的限制条件下，设计、制造出两种装置，以达到攻和防的目的。其中的发射装置主要需要利用理论力学的知识，考虑抛射的轨道、摩擦、能量转换、碰撞等因素，而保护装置主要需要利用材料力学的知识，考虑结构的重量、强度、稳定性等因素。在比赛中，攻和防都要强才能立于不败之地，各队需要进行综合考虑。我们认为，学生在决赛中可能要经历理论分析、初步设计、试验，反馈、修改设计等环节，需要理论联系实际，还要有很好的分工协作、动手制作能力，相信将会给学生很好的全面锻炼的机会，而这也正是以前的力学竞赛所缺乏的。
总之，我们将贯彻素质教育的思想，希望通过全国性的大赛，引导学生能够理论联系实际，用所学的知识去解决实际问题。同时，也希望能让部分教师改变一些教学风格，把枯燥的习题改造成有趣的问题，激发学生的学习热情，引导学生进行更深入的探索。
第6届周培源全国大学生力学竞赛选拔赛（样题）
时间3小时，满分120分
一、奇怪的独木桥（25分）
一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥而1个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为?M??600N?m。
为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。请你分析一下： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）如果一个人想过桥，最多能走多远？
（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？
图1 奇怪的独木桥
二、模特儿与新型舞台（35分）
有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。该舞台类似长方形桌子，长为2a，宽为a，有6条等长的桌腿（图2）。每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则 （1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。
图2 模特儿的新舞台
三、魔术师的箱子（20分）
魔术师当众把质量为20kg的小孩放到不透明的立方体箱子中（所有的魔术表演中箱子总是不透明的），盖好后固定在刚性薄平板AB上，位置如图3所示。已知箱子的质量为
40kg，重力作用线过立方体的几何中心，AB平板是均质的且质量为10kg。
（1）由于不知道小孩静止在箱内什么位置，因此你估计铰链B处约束力最大及最小值可能是多少（你可以合理假设质量为20kg的小孩高矮胖瘦）？
（2）在图示A、B铰链存在的情况下，平板可以平衡是很自然的事情。但是如果把铰链B撤去后仍能让平板在水平位置保持一段时间平衡，这可就不是人人都能做到的事情，但是魔术师声称可以做到，并保证平板有且只有A点与地面或天花板接触（从而排除了看不见的支撑或悬挂等情况）。从力学角度分析，排除浮力因素后，你认为魔术师的话有可能吗？
（3）上一问中，如果你认为可能，请指出其中的奥秘，并分析其中可能涉及的参数；如果你认为不可能，请指出具体原因（比如违反了什么原理或公式），但是提醒你同时思考一下：是否所有的魔术“看上去都是不可能的”。
图3 魔术师的箱子
四、出人意料的交线（40分）
设Oxyz是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻CD杆沿z轴；OB杆不计质量，长为a，沿x轴正方向；均质AB杆质量为m，长为l，先与z轴平行，绕x轴正方向转动?角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图4所示。
假设在yz平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地以匀角速度?绕z轴转动，需要在纸上挖出某种形状的空隙让AB杆通过（只考虑AB杆）。
（1）如果a?0，求空隙的函数表达式?0，并画出示意图。
（2）当a?0时，为了使系统以匀角速度?转动，需要在CD杆上加多大的力矩？ （3）如果a?0，求空隙的函数表达式?a，并画出示意图。?0与?a有何关系？ （4）当a?0时，设P点是AB杆与yz平面的交点，当P位于AB杆的中点时，其速度和加速度是多少？
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图4 初始时刻的系统位置
第6届周培源全国大学生力学竞赛决赛（样题）
准备时间：2－3天；在半天内集中进行决赛
题目：攻防兼备的力学设计大赛
在某些描写古代战争的电影中，常可见到一方用抛石机抛掷石头攻击对方城堡的场面。如果你是进攻的者，当然希望自己的抛石机威力巨大；如果你是防守者，当然希望自己的城堡固若金汤。
本次竞赛给参赛各队提供这样的机会：各队既要做出“抛石机”，又要造出“城堡”。然后各队之间相互比较谁的“抛石机”威力大，谁的“城堡”更结实？
具体内容：
（1）组委会给进入决赛的各队统一发放如下工具或材料：A4纸若干，细木条若干，泡沫塑料若干，橡皮筋若干，细铁丝一段，工具箱一个，鸡蛋若干个（鸡蛋供做尝试性的试验用）。每队利用这些材料设计制造两个装置：其中一个发射装置类似“抛石机”，可以抛出铅球攻击其它队的鸡蛋，另一个保护装置类似“城堡”可以防止鸡蛋被其它队的铅球击碎。
（2）比赛时各队抽签，每两个队为一组。两个队分别用自己的发射装置抛出铅球攻击对方的鸡蛋，同时要用保护装置避免自己队的鸡蛋破碎。
（3）比赛时场地上画有两个同心圆，小圆半径为r?20cm，大圆半径为R?100cm。A队的鸡蛋及保护装置放在小圆内，B队的发射装置放在大圆外。发射装置的最大尺寸不超过R，保护装置的最大尺寸不超过2r（要能方便查看鸡蛋是否破碎），如图6所示。
图6 发射装置与保护装置示意图
（4）两个队的比赛中，可能出现三种情况：
● 某一队的鸡蛋破碎，另一队的鸡蛋未破碎，则鸡蛋破碎的队被淘汰； ● 两队的鸡蛋都破碎，则保护装置重者被淘汰。
● 两队的鸡蛋都未破碎，则再进行一次。如果这样超过5次，改由组委会把两队的鸡蛋放在保护装置中，从同一高度向下扔，破碎者淘汰。如果都未破碎，高度增加后再扔。如果两队在同一高度破碎，装置重者被淘汰。
比赛过程
（1）准备阶段
公布题目后，各队有若干时间（比如2天）进行准备，自行确定方案，自行设计、制作相关的工具或装置。发射装置做一套即可，但是保护装置可做多套以备用。
各队可以对竞赛场地进行实地考查，并可用鸡蛋做一些尝试性的试验。 （2）比赛阶段
各队集中在一起进行比赛。在每一轮比赛前各队的保护装置都要称重。比赛采用淘汰制。 ? 第1轮20个队抽签分为10组，每组淘汰1个队。剩下10个队进入下一轮。 ? 第2轮10个队抽签分为5组，每组淘汰1个队。剩下5个队进入下一轮。 ? 第3轮5个队抽签，其中4个队分为2个组（设A对B，C对D），还会有某个队
（E）会抽到“轮空”。假设A、C获胜，则B与D的胜者与E进行比赛。这样有3个队进入最后一轮。本轮虽然对不同的队可能有些不公平，但是采用抽签形式，每个队抽到“轮空”的机会一样多，从这点说还是公平的。 ? 最后一轮决定前3名的名次。改由组委会把各队的鸡蛋放在保护装置中从同一高度
向下扔。鸡蛋首先破碎的队为第3名，如果都没有破碎，高度增加5厘米后再扔。第2个破碎的队为第2名，最后破碎的队为第1名。如果有两队在同一高度破碎，以装置轻者获胜。
（4）附注
? 如果保护装置被破坏而鸡蛋未破碎，允许更换保护装置。 ? 鸡蛋和铅球都由组委会提供； ? 如有问题由组委会裁定；
第6届周培全国大学生力学竞赛
