浙江省2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学参考答案选择题部分
一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号答案
1B2B3B4C5D1.B解析:根据题意，limf(x)?0，limf(x)?0，limg(x)?0，所以
x?x0g(x)x?x0x?x0f(x)f(x)?g(x)
?lim?1??1，故当x?x0时，f(x)?g(x)是g(x)的同阶无穷小，lim
x?xx?x00g(x)g(x)所以选项B正确。
2.B解析:根据题意，f?(a)存在，
lim
x?0f(a)?f(a?x)f(a?x)?f(a?x)f(a?x)?f(a)
?lim?lim?2f?(a)，所以x?0x?0xxx
选项B正确。
3.B解析:由F?(x)?f(x)可知，F(x)是f(x)的一个原函数，即：f(x)dx?F(x)?C，
?
可见选项B正确。
4.C解析:直线L1方程的方向向量为：s1?(1,1,?2)，直线L2方程的方向向量为：
?
ijk
0?1?1?1?10????i?j?k?i?2j?k，所以L1与L2的夹s1?n1?n2?10?1?
120201
012
?
?
?
???角可由公式得到：cos??s1?s2???s1?s2?1??，所以??，可见选项C正确。235.D解析:A选项：根据莱布尼茨判别法，可知级数是收敛的，但是通项加绝对值后得到?
1111
正项级数?，由于?，根据小散证大散，推得?是发散的，nln(n?1)n?1ln(n?1)n?1ln(n?1)?
因此级数?(?1)n?1n?1?1为条件收敛。ln(n?1)n?13n1
??1，可知级数是收敛的。B选项：根据比值判别法，limn?1n??3n3C选项：根据莱布尼茨判别法，可知级数是收敛的，通项加绝对值后得到正项级数?1?1????是收敛的（等比级数公比小于1为收敛），因此级数为绝对收敛。??nn?13n?1?3??n?
nn1
??0，推得级数?D选项：根据lim是发散的。因此选D。n??3n?13n?13n?1非选择题部分
二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6.?1解析:limn[ln(n?1)?lnn]?limnln(n??n??n?11?1?
)?limnln(1?)?limn??????1n??nnn???n?
x2?1
?ax?b)?2知，通分后可得：7.a??1，b?3解析:由lim(x??x?1x2?1?(ax?b)(x?1)(a?1)x2?(a?b)x?b?1lim?lim?2，因为该极限存在，并且x??x??x?1x?1(b?1)x?b?1
?2，因此lim(x?1)??，所以：a?1?0，即：a??1，且极限变为：lim
x??x??x?1
b?1?2，即：b?3
8.(0,1)
解析:F?(x)?1?1?0，解得0?x?1，所以F(x)的单调递减区间为(0,1)x9.
22解析:由连续的定义：
x?0limf(x)?lim??x?02?x?2?x222?lim?，所以a?f(0)?ax?0?2?x?2?x2x22?xln212?xln2?x
dx解析:由复合函数求导可知：y???2ln2?(?1)??10.?，?x?x?x1?21?21?22?xln2
dx所以dy?y?dx??
1?2?x?12
x?3,x?0??x,x?0?2?11.f(x)??解析:由：f(x)?x，可知f?(x)??，所以?x,x?01???x2?3,x?0
??2?12
x?C1,x?0??2
，又因为f(x)连续且f(?2)?1，可知C1?C2，且f(x)??
??1x2?C,x?0
2
??2
1
limf(x)?lim(?x2?C2)??2?C2?f(?2)?1，所以C1?C2?3，故x??2x??22?12
x?3,x?0??2
f(x)??
??1x2?3,x?0??2
?x
12.?ln(1?e)?C
x
（C为任意常数）或者x?ln1?e?C（C为任意常数）
??11e?x1?x?xdx?dx?dx??d(1?e)??ln(1?e)?C（C为任意解析:?xx?x?x?x???1?ee(1?e)1?e1?e常数）或者：
11?ex?exex1xx
dx?dx?dx?dx?x?d(1?e)?x?ln1?e?Cxxxx?1?e?1?e??1?e?1?e（C为任意常数）
???213.
8?1111?21?2?2?2?????2???????n6，所以：1?1?1??1????解析:由?234224262(2n)2?1?1?1?1??1?????S
222?(2n?1)2?35711111?2?2?2
?(1?2?2?2?????2????)???S，所以S?4234n2468?
(?1)n?1(x?1)n(?1)n?1xn
14.?，x??0,2?解析:利用幂级数展开式：ln(1?x)??，
nnn?1n?1
?
(?1)n?1(x?1)n
，x??0,2?x???1,1?，所以lnx?ln[1?(x?1)]??nn?1
?
?x?3t?2?15.(1.1.1)解析:直线方程可改写为：?y??2t?3，代入平面方程可得：
?z?t?(3t?2)?2(?2t?3)?2t?5，得到：t?1，把t?1代入直线方程的参数式，因此交点
坐标为(1.1.1)
三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。
1x211
???16.解:当x?0时，f(x?)?
1x1?x4x2?1x2?2?2?2(x?2xx11
则f(t)?2，所以f(x)?2，x????,?2???2,???t?2x?2
1
，
12
)?2x1211limx???17.解:方法一：原式=x???2x22?1??1??1?1sin????2??sin??1?cos
?x??lim?x??1x?lim?x?lim方法二：原式=x???x???x???1222?
x2x3xdy
??sin[f(x2)]?f?(x2)?2x??2xf?(x2)sin[f(x2)]dx
18.解:根据题意：
d2y2222
????[?2xf(x)]?sin[f(x)]?[?2xf(x)]?(sin[f(x)])?2dx??4f?(x2)?4x2f??(x2)sin[f(x2)]?4x2[f?(x2)]2cos[f(x2)]
??19.解:根据题意：1?a?b??1，则a?b??2，y?(1)??2x?a?x?1?2?a
对于2y?xy?1，由隐函数方程求导可得：2y??y?3xyy?，代入：x?1,y??1，可得：y?(1)?1，所以2?a?1，联立后可得：a??1，b??1
3
3
2
20.解:方法一：设f(x)?lnx?ax，x??0,???,则f?(x)?
x?
1
，所以得到如下表格：a
1
?a,令f?(x)?0，得到：xx
1(0,)a1a1(,??)af?(x)f(x)?
增0
极大值减?1故极大值，也是最大值，为：f()??lna?1，lim??lnx?ax????，
x?0ax
lim?lnx?ax??limlnx?ln(eax)?limln(ax)???x???x???x???e??所以由零点定理和单调性可知：
①当?lna?1?0，即0?a?，f()?0，函数与x轴有2个交点，即方程lnx?ax有2个实根
1
e1a②当?lna?1?0，即a?，f()?0，函数与x轴有1个交点，即方程lnx?ax有1个实根
③当?lna?1?0，即a?，f()?0，函数与x轴有无交点，即方程lnx?ax无实根
1e1e1a1a方法二：设f(x)?
lnx1?lnx
，x??0,???,f?(x)?,令f?(x)?0，得到：x?exx2xf?(x)f(x)(0,e)e0
(e,??)?
增极大值减1lnxlnx
故极大值，也是最大值，为：f(e)?，lim????，lim?0
x???xex?0x①当0?a?，方程lnx?ax有2个实根②当a?，方程lnx?ax有1个实根③当a?，方程lnx?ax无实根
?1
e1e1e1?x?x21?x?x211
21.解:?dx?dx?dx?dx?lnx?arctanx?C（C为任意常数）322???x?xx(1?x)x1?x22.解:原式?
?
?20????2sin(x?)dx?2?sin(x?)dx???2?4?sinudu?22?4sinudu
0?444?20u?x??4
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