浙江省2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学参考答案选择题部分
一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号答案
1B2B3B4C5D1.B解析:根据题意,limf(x)?0,limf(x)?0,limg(x)?0,所以
x?x0g(x)x?x0x?x0f(x)f(x)?g(x)
?lim?1??1,故当x?x0时,f(x)?g(x)是g(x)的同阶无穷小,lim
x?xx?x00g(x)g(x)所以选项B正确。
2.B解析:根据题意,f?(a)存在,
lim
x?0f(a)?f(a?x)f(a?x)?f(a?x)f(a?x)?f(a)
?lim?lim?2f?(a),所以x?0x?0xxx
选项B正确。
3.B解析:由F?(x)?f(x)可知,F(x)是f(x)的一个原函数,即:f(x)dx?F(x)?C,
?
可见选项B正确。
4.C解析:直线L1方程的方向向量为:s1?(1,1,?2),直线L2方程的方向向量为:
?
ijk
0?1?1?1?10????i?j?k?i?2j?k,所以L1与L2的夹s1?n1?n2?10?1?
120201
012
?
?
?
???角可由公式得到:cos??s1?s2???s1?s2?1??,所以??,可见选项C正确。235.D解析:A选项:根据莱布尼茨判别法,可知级数是收敛的,但是通项加绝对值后得到?
1111
正项级数?,由于?,根据小散证大散,推得?是发散的,nln(n?1)n?1ln(n?1)n?1ln(n?1)?
因此级数?(?1)n?1n?1?1为条件收敛。ln(n?1)n?13n1
??1,可知级数是收敛的。B选项:根据比值判别法,limn?1n??3n3C选项:根据莱布尼茨判别法,可知级数是收敛的,通项加绝对值后得到正项级数?1?1????是收敛的(等比级数公比小于1为收敛),因此级数为绝对收敛。??nn?13n?1?3??n?
nn1
??0,推得级数?D选项:根据lim是发散的。因此选D。n??3n?13n?13n?1非选择题部分
二、填空题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
6.?1解析:limn[ln(n?1)?lnn]?limnln(n??n??n?11?1?
)?limnln(1?)?limn??????1n??nnn???n?
x2?1
?ax?b)?2知,通分后可得:7.a??1,b?3解析:由lim(x??x?1x2?1?(ax?b)(x?1)(a?1)x2?(a?b)x?b?1lim?lim?2,因为该极限存在,并且x??x??x?1x?1(b?1)x?b?1
?2,因此lim(x?1)??,所以:a?1?0,即:a??1,且极限变为:lim
x??x??x?1
b?1?2,即:b?3
8.(0,1)
解析:F?(x)?1?1?0,解得0?x?1,所以F(x)的单调递减区间为(0,1)x9.
22解析:由连续的定义:
x?0limf(x)?lim??x?02?x?2?x222?lim?,所以a?f(0)?ax?0?2?x?2?x2x22?xln212?xln2?x
dx解析:由复合函数求导可知:y???2ln2?(?1)??10.?,?x?x?x1?21?21?22?xln2
dx所以dy?y?dx??
1?2?x?12
x?3,x?0??x,x?0?2?11.f(x)??解析:由:f(x)?x,可知f?(x)??,所以?x,x?01???x2?3,x?0
??2?12
x?C1,x?0??2
,又因为f(x)连续且f(?2)?1,可知C1?C2,且f(x)??
??1x2?C,x?0
2
??2
1
limf(x)?lim(?x2?C2)??2?C2?f(?2)?1,所以C1?C2?3,故x??2x??22?12
x?3,x?0??2
f(x)??
??1x2?3,x?0??2
?x
12.?ln(1?e)?C
x
(C为任意常数)或者x?ln1?e?C(C为任意常数)
??11e?x1?x?xdx?dx?dx??d(1?e)??ln(1?e)?C(C为任意解析:?xx?x?x?x???1?ee(1?e)1?e1?e常数)或者:
11?ex?exex1xx
dx?dx?dx?dx?x?d(1?e)?x?ln1?e?Cxxxx?1?e?1?e??1?e?1?e(C为任意常数)
???213.
8?1111?21?2?2?2?????2???????n6,所以:1?1?1??1????解析:由?234224262(2n)2?1?1?1?1??1?????S
222?(2n?1)2?35711111?2?2?2
?(1?2?2?2?????2????)???S,所以S?4234n2468?
(?1)n?1(x?1)n(?1)n?1xn
14.?,x??0,2?解析:利用幂级数展开式:ln(1?x)??,
nnn?1n?1
?
(?1)n?1(x?1)n
,x??0,2?x???1,1?,所以lnx?ln[1?(x?1)]??nn?1
?
?x?3t?2?15.(1.1.1)解析:直线方程可改写为:?y??2t?3,代入平面方程可得:
?z?t?(3t?2)?2(?2t?3)?2t?5,得到:t?1,把t?1代入直线方程的参数式,因此交点
坐标为(1.1.1)
三、计算题:本题共有8小题,其中16-19小题每小题7分,20-23小题每小题8分,共60分。计算题必须写出必要的计算过程,只写答案的不给分。
1x211
???16.解:当x?0时,f(x?)?
1x1?x4x2?1x2?2?2?2(x?2xx11
则f(t)?2,所以f(x)?2,x????,?2???2,???t?2x?2
1
,
12
)?2x1211limx???17.解:方法一:原式=x???2x22?1??1??1?1sin????2??sin??1?cos
?x??lim?x??1x?lim?x?lim方法二:原式=x???x???x???1222?
x2x3xdy
??sin[f(x2)]?f?(x2)?2x??2xf?(x2)sin[f(x2)]dx
18.解:根据题意:
d2y2222
????[?2xf(x)]?sin[f(x)]?[?2xf(x)]?(sin[f(x)])?2dx??4f?(x2)?4x2f??(x2)sin[f(x2)]?4x2[f?(x2)]2cos[f(x2)]
??19.解:根据题意:1?a?b??1,则a?b??2,y?(1)??2x?a?x?1?2?a
对于2y?xy?1,由隐函数方程求导可得:2y??y?3xyy?,代入:x?1,y??1,可得:y?(1)?1,所以2?a?1,联立后可得:a??1,b??1
3
3
2
20.解:方法一:设f(x)?lnx?ax,x??0,???,则f?(x)?
x?
1
,所以得到如下表格:a
1
?a,令f?(x)?0,得到:xx
1(0,)a1a1(,??)af?(x)f(x)?
增0
极大值减?1故极大值,也是最大值,为:f()??lna?1,lim??lnx?ax????,
x?0ax
lim?lnx?ax??limlnx?ln(eax)?limln(ax)???x???x???x???e??所以由零点定理和单调性可知:
①当?lna?1?0,即0?a?,f()?0,函数与x轴有2个交点,即方程lnx?ax有2个实根
1
e1a②当?lna?1?0,即a?,f()?0,函数与x轴有1个交点,即方程lnx?ax有1个实根
③当?lna?1?0,即a?,f()?0,函数与x轴有无交点,即方程lnx?ax无实根
1e1e1a1a方法二:设f(x)?
lnx1?lnx
,x??0,???,f?(x)?,令f?(x)?0,得到:x?exx2xf?(x)f(x)(0,e)e0
(e,??)?
增极大值减1lnxlnx
故极大值,也是最大值,为:f(e)?,lim????,lim?0
x???xex?0x①当0?a?,方程lnx?ax有2个实根②当a?,方程lnx?ax有1个实根③当a?,方程lnx?ax无实根
?1
e1e1e1?x?x21?x?x211
21.解:?dx?dx?dx?dx?lnx?arctanx?C(C为任意常数)322???x?xx(1?x)x1?x22.解:原式?
?
?20????2sin(x?)dx?2?sin(x?)dx???2?4?sinudu?22?4sinudu
0?444?20u?x??4
2015年浙江3+2专升本高数真题--答案解析(知乎内部资料) - 图文
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