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浙江省温州市普通高中2024届高三下学期4月适应性测试数学试题 Word版含解析

由天下分享时间：2024/12/18 22:37:27 加入收藏我要投稿点赞

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2024年4月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题

选择题部分（共40分）

一、选择題：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

21.已知集合A?{x?R|1?x?3}，B?x?R|x?1，则A???RB??( )

D. (??,3]

A. (?1,3] 【答案】A 【解析】【分析】

B. [?1,3] C. (??,3)

化简集合B,求出其补集，再利用并集的定义求解即可. 【详解】因为B?x?R|x?1????,?1???1,???，，

2??所以

RB???1,1?，

又因为A?{x?R|1?x?3}?1,3，所以A???RB??(?1,3]，

故选：A.

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合.

2.已知复数?1?i??a?i?为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a?（） A. -1 【答案】B 【解析】【分析】

化简得到z?a?1??a?1?i，根据纯虚数概念计算得到答案.

【详解】z??1?i??a?i??a?1??a?1?i为纯虚数，故a?1?0且a?1?0，即a?1. 故选：B.

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B. 1 C. 0 D. 2

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【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.

?x?y?20?3.设实数x,y满足条件?2x?y?30则x?y?1的最大值为（）

?x?y0?A. 1 【答案】C 【解析】【分析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，

B. 2

C. 3

D. 4

z?x?y?1，即y??x?z?1，z表示直线在y轴的截距加上1，

根据图像知，当x?y?2时，且x???,1?时，z?x?y?1有最大值为3. 故选：C.

?1??3?

【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

4.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）

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1 3【答案】C 【解析】【分析】

21?，X服从二项分布，计算得到答案. 63211【详解】每一次成功的概率为p??，X服从二项分布，故E?X???3?1.

363每一次成功的概率为p?故选：C.

【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5.设a,b??0,1?.20B.

1 2C. 1 D. 2

?1,???，则\a?b\是\logab?logba\的（）

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分

A. 充分不必要条件也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】

根据题意得到充分性，验证a?2,b?【详解】a,b??0,1?1得出不必要，得到答案. 2?1,???，当\a?b时，logab?logba，充分性；

1，验证成立，故不必要. 2当logab?logba，取a?2,b?故选：A.

【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 6.若?1?x?A. 219 【答案】C 【解析】【分析】

n计算an?C20，根据对称性得到答案.

rrn【详解】?1?x?展开式的通项为：Tr?1?C20x，故an?C20，

?a0?a1x???a19x19?a20x20，则a0?a1???a9?a10的值为（）

B. 2?19110C20 2C. 2?19110C20 21910D. 2?C20

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?1?x?20?a0?a1x???a19x19?a20x20，

020120102010220C20110根据对称性知：a0?a1???a9?a10?C?C?...?C?. ??219?C20242故选：C.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

x2y27.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)，其右焦点F的坐标为?c,0?，点A是第一象限内双

abc2曲线渐近线上的一点，O为坐标原点，满足|OA|?，线段AF交双曲线于点M.若M为

aAF的中点，则双曲线的离心率为（）

A. 2 【答案】C 【解析】【分析】计算得到A?c,B. 2

C. 23 3?bc??bc?M，?c,?，代入双曲线化简得到答案 ?a?2a???【详解】双曲线的一条渐近线方程为y?bx，A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，ac2|OA|?，

a2?bc??bc?3c23故A?c,?，F?c,0?，故M?c,. ?，代入双曲线化简得到：2?1，故e?2aa??4a??3故选：C.

【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

8.如图，在ABC中，点M是边BC的中点，将ABM沿着AM翻折成AB'M，且点B?不在平面AMC内，点P是线段B'C上一点.若二面角P?AM?B?与二面角P?AM?C的平面角相等，则直线AP经过AB?C的（）

.D.

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A. 重心【答案】A 【解析】【分析】

B. 垂心 C. 内心 D. 外心

根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到S?PB'M?S?PCM，得到答案. 【详解】二面角P?AM?B?与二面角P?AM?C的平面角相等，故P到两个平面的距离相等.

故VP?AB'M?VP?ACM，即VA?PB'M?VA?PCM，两三棱锥高相等，故S?PB'M?S?PCM，故B'P?CP，故P为CB'中点. 故选：A.

【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 9.定义在R上的函数y?f?x?满足f?x??2图象可能是（）

x?1，且y?f?x?1?为奇函数，则y?f?x?的

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】【分析】

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除C，得到答案.

【详解】y?f?x?1?为奇函数，即f?x?1???f??x?1?，函数关于?1,0?中心对称，排除

AB.

f?1.5??2故选：D.

【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于?1,0?中心对称是解题的关键.

1.5?1?2，排除C.

n?5?2,n?N*?.若正整数k(k?5)使得10.已知数列?an?满足：an????a1a2?an?1?1,n?622a12?a2???ak?a1a2?ak成立，则k?( )

A. 16 【答案】B 【解析】【分析】

B. 17 C. 18 D. 19

由题意可得a1?a2?a3?a4?a5?2，a6?a1a2a3?a5?1?25?1?31，n6时，

2a1a2?an?1?1?an，将n换为n?1，两式相除，an?an?1?an?1，n6，

222?a7???ak?ak?1?a6?k?5即有累加法求得a622a12?a2???ak?20?ak?1?a6?k?5?ak?1?k?16，结合条件，即可得到所求值．

【详解】解：an???2,n5(n?N*)，

aa?a?1,n6n?1?12即a1?a2?a3?a4?a5?2，a6?a1a2a3?a5?1?25?1?31，

n6时，a1a2?an?1?1?an，

a1a2?an?1?an?1，

两式相除可得

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2a7?a8?a7?1，

?，

2ak?ak?1?ak?1，k5，

222?a7???ak?ak?1?a6?k?5 可得a622a12?a2???ak?20?ak?1?a6?k?5?ak?1?k?16，

且a1a2?ak?1?ak?1，

222正整数k(k5)时，要使得a1?a2???ak?a1a2?ak成立，

则ak?1?k?16?ak?1?1，则k?17，故选：B．

【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.2024年1月，一场由新型冠状病毒引发的肺炎席卷全国，全国人民众志成城抗击疫情.下图为温州市2月2日至2月9日的疫情变化趋势图，从中可以看出2月_______日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，其当天新增治愈人数比当天新增确诊人数多________人.

【答案】 (1). 8 (2). 11 【解析】【分析】

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直接观察图像得到答案.

【详解】根据图像知：2月8日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数， 2月8日新增确诊人数为：448?438?10，新增治愈人数70?49?21，故多11人. 故答案为：8；11.

【点睛】本题考查了对于统计图像的理解，意在考查学生的理解能力和应用能力. 12.已知向量a,b满足a?2,b?1,a?b?1，则a?b?________，b的a上的投影等于________.

【答案】 (1). 7 (2). 【解析】分析】

计算a?b?a?b【详解】a?b221 2【222???7，得到a?b?7，再根据投影公式计算得到答案.

??a?b??a?b?2a?b?7，故a?b?7；b的a上的投影等于

2a?b1?. 2a故答案为：7；

1. 2【点睛】本题考查了向量的运算，向量投影，意在考查学生的计算能力.

13.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为________，最长棱的长度（单位：cm）为________.

【答案】 (1). 23 (2). 5 【解析】【分析】

根据三视图可得原几何体（如图所示），根据三视图中的数据可求三棱锥的体积及最长棱的长度.

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【详解】由三视图可得几何体如图所示：

由三视图可得?BCD为直角三角形，?BCD?90?，AD?平面BCD. 边BD上的高为3，BD?4，棱锥的高为AD?3，故体积为?11?3?4?3?23, 32因为BC?平面BCD，故BC?AD，而BC?CD，ADCD?D，

AD?平面ACD，CD?平面ACD，故BC⊥平面ACD，

因为AC?平面ACD，故BC?AC，

所以三棱锥最长棱为AC，且AC?32?42?5. 故答案为：（1）23；（2）5.

【点睛】本题考查三视图、三棱锥的体积以及最长棱的计算，复原几何体时要注意三视图中的点线的关系与几何体中点线面的关系的对应，本题属于基础题. 14.在ABC中，D为BC的中点，若BD?1，?B??4，cos?ADB??3，则5AB?________，sin?CAD?________

【答案】 (1). 25 (2). 【解析】【分析】计算sin?ADB?25 2542，sin?BAD?，根据正弦定理得到AB?42，AD?5，再利用余510弦定理计算得到AC?25，再根据正弦定理计算得到答案.

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【详解】cos?ADB??43???，?ADB??,??，故sin?ADB?， 55?2???222?. sin?BAD?sin??ADB???sin?ADB?cos?ADB?4?2210?根据正弦定理：

ABBDAD??，即AB?42，AD?5.

sin?ADBsin?BADsin?B34cos?ADC??cos?ADB?，sin?ADC?.

55根据余弦定理：AC2?AD2?CD2?2AD?CDcos?ADC?20，故AC?25. 根据正弦定理：

CDAC25?，解得sin?CAD??.

sin?CADsin?ADC2525. 25故答案为：25；【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生计算能力和转化能力. 15.已知实数x,y满足?2x?y??4y2?1,则2x?y的最大值为________. 【答案】2 【解析】【分析】

直接利用柯西不等式得到答案.

2?2x?y?2y?，故2x?y?2，

【详解】根据柯西不等式：?2x?y?2?4y2?1?2当2x?y?2y，即x?322，y?时等号成立. 84故答案为：2.

【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.

16.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法. 【答案】20

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【解析】【分析】

讨论装球盒子的个数，计算得到答案. 【详解】当四个盒子有球时：C42?6种；

111当三个盒子有球时：2C2?2C2C2?12种；

2当两个盒子有球时：A2?2种.

故共有20种，故答案为：20.

【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力. 17.已知点P是直线y?x?1上的动点，点Q是抛物线y中点，O为原点，则OM的最小值为________.

x2上的动点.设点M为线段PQ的

【答案】

32 16【解析】【分析】

过点Q作直线平行于y?x?1，则M在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.

【详解】如图所示：过点Q作直线平行于y?x?1，则M在两条平行线的中间直线上，

yx2，则y'2x1，x?11，故抛物线的与直线平行的切线为y?x?.

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【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤. 18.设函数f(x)?sin(2x??)?sin(2x?),x?R. 63?(I)求f?x?的最小正周期； (II)若??(??1?,?)且f()?，求sin(2??)的值. 62267 4【答案】(I)?；(II)?【解析】【分析】

???fx?2sin2x???(I)化简得到??，得到周期.

12??(II) f()??2??1???22sin?????，故sin?，根据范围判断?????122??12?4???14?，代入计算得到答案. cos??????124??【详解】(I) f(x)?sin?2x???????????????sin2x??sin2x??cos2x???????? 6?366?????????2??2sin?2x??，故T???.

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(II) f()??2??1???2??14?2sin?????，故sin?，， ???cos????????12?2?124124???????13????(,?)，故????,12?4126故?????????cos???sin??，?????，

12?12?????3????14??,??，故cos?， ??????12?4?12?4????????7?. sin(2??)?2sin????cos??????612?12?4??【点睛】本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19.在三棱锥S?ABC中，?BAC??SBA??SCA?90?,?SAB?45,?SAC?60?,D为棱AB的中点，SA?2 (I)证明：SD?BC；

(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值. 【答案】(I)证明见解析；(II)【解析】【分析】

(I) 过D作DE?BC于E，连接SE，根据勾股定理得到SE?BC，DE?BC得到BC⊥平面SED，得到证明.

(II) 过点D作DF?SE于F，证明DF?平面SBC，故?ESD为直线SD与平面SBC所成角，计算夹角得到答案.

【详解】(I)过D作DE?BC于E，连接SE，根据角度的垂直关系易知：

1 5AC?1，AB?SB?2，CS?CB?3，故BE?BDcos?CBD?236，CE?.

363， 3DE?BDsin?CBD?14?SE2?2SE2??35332??根据余弦定理：，解得SE?，故SB2?SE2?BE2，

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故SE?BC，DE?BC，SE故SD?BC.

(II)过点D作DF?SE于F，

DE?E，故BC⊥平面SED，SD?平面SED，

BC⊥平面SED，DF?平面SED，故DF?BC，DF?SE，BCSE?E，

故DF?平面SBC，故?ESD为直线SD与平面SBC所成角，

5SE2?SD2?DE226SD?SB?BD?，根据余弦定理：cos?ESD?， ?22SE?SD5222故sin?ESD?1. 5

【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20.已知等差数列?an,?和等比数列?bn?满足：

a1?b1?1,bn?N*,a2?a4?a9?3b3,3ab3?b5?30.

(I)求数列{an}和?bn?的通项公式；

?n2?(II)求数列??的前n项和Sn.

?an?an?1?【答案】(I) an?2n?1，bn?3【解析】【分析】

(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.

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n?1n2?n；(II)

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n211?11??????(II) ?，利用裂项相消法计算得到答案.

an?an?148?2n?12n?1??3?12d?3q2?【详解】(I) a1?b1?1,a2?a4?a9?3b3,3ab3?b5?30，故?， 24??31?q?1d??q?30??????d?2n?1解得?，故an?2n?1，bn?3.

?q?3n2n2n2111??2??(II)

an?an?1?2n?1???2n?1?4n?144?2n?1???2n?1?n1?1?n2?n11?11?????. ???，故Sn???1?48?2n?12n?1?48?2n?1?2?2n?1?【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

x221.如图，已知椭圆C:?y2?1，F

4其右焦点，直线l:y?kx?m?km?0?与椭圆交于

P(x1,y1),Q(x2,y2)两点，点A,B在l上，且满足PA?PF,QB?QF,OA?OB.(点A,P,Q,B从上到下依次排列)

(I)试用x1表示PF：

(II)证明：原点O到直线l的距离为定值. 【答案】(I) |FP|?2?【解析】【分析】

(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.

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?8km4m2?4(II) 设A?x3,y3?，B?x4,y4?，联立方程得到x1?x2?，,x1x2?4k2?14k2?1x3?x4??2km，代入化简得到m2?k2?1，计算得到证明. 2k?1x2【详解】(I) 椭圆C:?y2?1，故F4?3,0，

12323x1?x1?23x1?4?2?x1. 442?|FP|??x1?3?2?y?21?x1?3?2?1?2x(II)设A?x3,y3?，B?x4,y4?，则将y?kx?m代入?y2?1得到：

4?8km4m2?4?4k?1?x?8kmx?4m?4?0，故x1?x2?4k2?1,x1x2?4k2?1，

22244k2?1?m2， x2?x1?24k?1y3?y4k?x3?x4??2m1?2km???，得到x3?x4?2OA?OB，故，

x3?x4x3?x4kk?1PA?PF，故1?k2x1?x3?2?3x1，同理：1?k2x4?x2?2?3x2，

22由已知得：x3?x1?x2?x4或 x3?x1?x2?x4，故1?k2?x1?x2???x3?x4??3x2?x1， 2?8km2km4k2?1?m222即1?k?，化简得到??23?m?k?1. 2224k?1k?14k?12故原点O到直线l的距离为d?m1?k2?1为定值.

【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

22.已知a,b?R，设函数f(x)?ex?ax?bx2?1 (I)若b?0，求f?x?的单调区间：

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(II)当x?0,???时，f?x?的最小值为0，求a?5b的最大值.注：e?2.71828…为自然对数的底数.

【答案】(I)详见解析；(II) 2e 【解析】【分析】

(I)求导得到f'(x)?ex?a，讨论a?0和a?0两种情况，得到答案. (II) f??153e5e?1?，故，取，，求导得到?e?a?b?0a?b?a?5b?2e?2244?2??1???0，得到答案. ?2?单调性，得到f?x?min?f?xx【详解】(I) f(x)?e?ax，f'(x)?e?a，

当a?0时，f'(x)?e?a?0恒成立，函数单调递增；

x当a?0时，f'(x)?e?a?0，x?lna，当x????,lna?时，f'?x??0函数单调递减；

x当x??lna,???时，f'?x??0函数单调递增.

综上所述：a?0时，f?x?在R上单调递增；a?0时，f?x?在???,lna?上单调递减，在

?lna,???上单调递增.

(II) f(x)?ex?ax?bx2?1?0在x??0,???上恒成立；

15?1?f???e?a?b?0，故a?5b?2e，

22?2?现在证明存在a,b，a?5b?2e，使f?x?的最小值为0.

取a??1?3e5e，b?，（此时可使f'???0），

?2?44bxx2?1,f''(x)?ex?2f'(x)?ex?a?b?x2?1?x2?1，b?5e?1， 4故当x??0,???上时，x?1??x2?1?1,ex?1，故f''(x)?0，

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