4-6解：要最小化发电成本，原问题的最优问题的拉格朗日函数为：
l?CA(PA)?CB(PB)?CC(PC)??(L?PA?PB?PC) 其中L为350MW的负荷
对此函数求偏导，并令其等于零，可得到存在最优解的必要条件：
机组共发电：PA MW ?PB?PC?110?86?210?406机组发的电除了供应350MW的负荷之外，还可以在现货市场上售出
406?350?56MW的电能，得到收益：10.2?56?571.2美元。
4-9解：
由题4-8中得机组的最优发电出力为：
?l?l?1.6?0.1PB???0 ?1.4?0.08PA???0
?PB?PA?l?l ?L?PA?PB?P?1.8?0.04P???0C?0C???PC求解上述方程得：A的最优出力：PAB的最优出力：PBPA?110 MW PB?86 MW PC?210 MW
由于题目中给出了机组的发电约束，所以机组的实际发电为：
?95.25 MW
MW ?74.2 MW C的最优出力：PC?180.5电能边际成本值：??9.02 美元/MWh
PA?100 MW PB?80 MW PC?210 MW
总发电厂出力为：PA总的负荷供应小时成本为：
?PB?PC?100?80?210?390 MW
CA(PA)?CB(PB)?CC(PC)?15?1.4?95.25?0.04?95.252?25?1.6?74.2?0.05?74.22?20?1.8?180.5?0.02?180.52?511.25?419?996.51?1926.76美元/h4-7解：因为现货价格为8.20美元/MWh，低于题4-6中解出的电能的影子价格
可以售出电能：390?350?4-10解：古诺模型竞争结果： 表格太多了，删除 4-11解：
40 取得收益：10.2?40?408
??9.02 美元/MWh，所以蜀国发电公司应该选择向市场购买电能，并将自
身机组的发电量调低，使得：
采用古诺模型，发电机的利润：?A(PA,PB) ??(D)PA?CA(PA） ?B(PA,PB)??(D)PB?CB(PB）约束条件 DdCA(PA)?1.4?0.08PA?8.20
dPA?PA?PB
联合：成本函数：CA反需求函数：可以求出：
?36PA CB?31PB
dCB(PB)?1.6?0.1PB?8.20dPBdCC(P C)?1.8?0.04PC?8.20dPC??120?D
?84PA?PA2?PAPB
发电公司A的最优化决策：∵?A∴
?PA?85 MW PB?66 MW PC?160 MW
蜀国发电公司自身机组发电总量为：
1??A ?84?2PA?PB?0 ? PA?（84-PB）2?PA发电公司B的最优化决策：∵?B∴
?89PB?PB2?PAPB
PA?PB?PC?85?66?160?311 MW
所以，公司应该向市场购买电能：350?311?39MW 支付费用：8.20?39?319.80 美元 总的小时成本为：
A B
1??B ?89?2PB?PA?0 ? PB?（89-PA）2?PB求解得： PA∴ D
?26.33 MW PB?31.33 MW
?PA?PB?26.33?31.33?57.66 MW
CA(PA)?CB(PB)?CC(PC)?319.80?423?348.40?820?319.80?1911.20美元/h4-8解：蜀国电力公司可以在现货市场以10.20美元/MWh的价格售电时，其最优解为发电边际成本恰好等于现货市场价格时的解。 即： dCA(PA)??120?D?62.34 美元/MWh
?A??PA?CA(PA）=62.34?26.33-36?26.33=693.53 美 ?B??PB?CB(PB）=62.34?31.33-31?31.33=981.88 美
4-12解：
在电能价格最低的4h内抽水，为1—4小时， 在电能价格最高的4h内发电，为7—10小时，
抽水蓄能电厂贮存量为1000MWh时，重新发出电能是的转换率约75%， 则1—4小时内每小时抽水点能为：1000 MWh，
?25047—10小时每小时发电为：制表如下： 时段 1 电能价格（美元/MWh） 40.92 电能消耗（MWh） 250 电能释放量收入（美元） （MWh） 0 ﹣10230 dPA?1.4?0.08PA?10.20
dCB(P B)?1.6?0.1PB?10.20dPBdCC(P C)?1.8?0.04PC?10.20dPC1000?75%?187.5 MWh
4? PA MW ?110 MW PB?86 MW PC?2102 39.39 250 0 ﹣9847.5 3 39.18 250 0 ﹣9795 4 40.65 250 0 ﹣10162.5 5 45.42 0 0 0 6 56.34 0 0 0 7 58.05 0 187.5 10884.4 8 60.15 0 187.5 11278.1 9 63.39 0 187.5 11885.6 10 59.85 0 187.5 11221.9 11 54.54 0 0 0 12 49.50 0 0 0 总 计 1000 750 5235 该厂在循环周期内可实现利润5235美元。 要是利润等于零，设电厂效率为
x，
抽水时消耗电能和前面一样，发电时发出的电能为每小时1000x4?250x
MWh
将上表中7—10小时段内的表重新计算过，为 7 58.05 0 250x 14512.5x 8 60.15 0 250x 15037.5x 9 63.39 0 250x 15847.5x 10 59.85 0 250x 14962.5x 总 -计 1000 1000x 0 因为利润为零，则： ﹣10230﹣9847.5﹣9795﹣10162.5+14512.5
x+15037.5x+15847.5x+14962.5x=0
x=66.333%
即利润为零时的电厂效率为66.33%。 第五章 系统安全与辅助服务
5-1解：这三台发电机容量: 150 200 250 分别编号为A.B.C
根据题意，只有三种可能：（B和C）（A和C）（A和C）（A和B） 如果A停运剩余 200+250=450MW；如果B停运剩余 150+250=400MW； 如果C停运剩余 150+200=350MW；取最小，所以最大负荷350MW。 5-3解：
1）由于必须遵守N-1安全标准
所以在三条输电线路均投运情况下：最大电力传输：（3-1）×300=600MW。 2）只有两条额定容量为300MW 最大电力传输=（2-1）×300=300MW。 3）有两条线路为容量300MW第三条为200MW
同题5-1的方法可得： 最大电力传输为500MW。
4）如果是有一台机组发生了故障则在后来的20min之内可承受10%的过负荷 两台机组的过负荷：300×10%×2=60MW
同时下游母线以4MW/min速度增加出力，在这20min内增加的总出力为4×20=80MW，
此时为600+80=680MW 由此可见运行时的最小容量为660MW 最大电力传输：660MW。
5）如果下游母线以2MW/min的速度增加出力，则在20min 10%的过负荷消失后，下游母线累计出为：2×20=40MW 所以电力传输：600+40=640MW。
6）低温与强风可以提高导线在空气中的散热速度，假定线路的载荷能力因此提高到超过本题4）中对应的持续，紧急负荷状态15%的水平。 按负荷的15%算可得：最大电力传输：759MW。 第六章 输电网络与电力市场 6-1解： 太多，肯定不考，删除。 6-2解：
1）A、B之间的线路断开，则A、B两边各自独立运行，此时
FAB?0 MW，PA?2000 MW，PB?1000 MW
所以，?A?MCA?20?0.03PA?20?0.03?2000?80 美元/MWh
?B?MCB?15?0.02PB?15?0.02?1000?35 美元/MWh
2）A、B之间的线路处于投运状态，没有输电容量限制，则A、B两地形成一个统一的市场，其电能价格相等，所以
???A??B?MCA?MCB也即??P?20?0.03PA?15?0.02PBP A?PB?DA?DB?3000?A?PB?3000解得 PA?1100 MW PB?1900 MW
电价为：?A??B?MCA?MCB?20?0.03?1100?53美元/MWh
线路潮流为：FAB?PA?DA?1100?2000??900 MW
3）A、B之间线路投运，A、B两地形成统一的电能市场，电能价格相等，因为发电机B的最大出力为1500MW，所以，PB?1500 MW
PA?DA?DB?PB?2000?1000?1500?1500 MW 此时 MCA?20?0.03?1500?65 美元/MWh
MCB?15?0.02?1500?45 美元/MWh
因为是统一的市场，相同的价格，所以电能价格必须高于最高的那个边际生产价格才能使发电商获利，则：?A??B?65 美元/MWh
FAB?PA?DA?1500?2000??500 MW
4）A、B之间线路投运，A、B两地形成统一的电能市场，电能价格相等，因为发电机A的最大出力为900MW，所以，PA?1500 MW
PB?DA?DB?PA?2000?1000?900?2100 MW 此时 MCA?20?0.03?900?47 美元/MWh
MCB?15?0.02?2100?57 美元/MWh
因为是统一的市场，相同的价格，所以电能价格必须高于最高的那个边际生产价格才能使发电商获利，则：?A??B?57 美元/MWh
FAB?PA?DA?900?2000??1100 MW
5) A、B之间线路投运，最大传输容量为600MW，则发电机B的出力被限制为
PB?1500 MW 则 PA?2000?600?1400 MW
600MW从B传向A，FAB??600 MW
?A?MCA?20?0.03PA?20?0.03?1400?62 美元/MWh
?B?MCB?15?0.02PB?15?0.02?1600?47 美元/MWh
输电线路容量限制导致A、B两地出现电能价格差。 6-3解：
用RA、RB表示发电商A、B的收入，用EA、EB表示用户用电需支付的费用。 1） RA?PA?MCA?2000?80?160000 美元
RB?PB?MCB?1000?35?35000 美元 EA?DA??A?2000?80?160000 美元 EB?DB??B?1000?35?35000 美元
2) RA?PA?MCA?1100?53?58300 美元
RB?PB?MCB?1900?53?100700 美元 EA?DA??A?2000?53?106000 美元
EB?DB??B?1000?53?5300 美元
3) RA?PA?MCA?1500?65?97500 美元 RB?PB?MCB?1500?65?97500 美元 EA?DA??A?2000?65?130000 美元
EB?DB??B?1000?65?65000 美元
4) RA?PA?MCA?900?57?51300 美元
RB?PB?MCB?2100?57?119700 美元
EA?DA??A?2000?57?114000 美元
EB?DB??B?1000?57?57000 美元
5) RA?PA?MCA?1400?62?86800 美元
RB?PB?MCB?1600?47?75200 美元 EA?DA??A?2000?62?124000 美元
EB?DB??B?1000?47?47000 美元
将以上所有数据用表格表示： 条件 1） 2） 3） 4） 5） RA 160000 58300 97500 51300 86800 RB 35000 100700 97500 119700 75200 EA 160000 106000 13000 114000 124000 EB 35000 53000 65000 57000 47000 因为两母线间输电线路的存在，可以降低A点的电价，增加B点的电价，所以B点的发电商和A点的用户都将因此而获益。 6-4解：6-2题中5）对应的阻塞剩余为：
(?A??B)?600?(62?47)?600?9000 美元
6-3题5）中
ETOTAL?RTOTAL?124000?47000?(86800?75200)?9000 美元
两者完全相等，所以阻塞剩余为9000美元。
阻塞剩余等于两市场间的价差乘以母线间线路上流过的潮流数量，所以：
①当母线间的潮流等于零是，阻塞剩余等于零，
②当A、B两地的价差等于零时，阻塞剩余等于零。此时，?A??B，同6-2题中2）题无约束情况，FAB??900 MW 6-5解：
因为系统无约束，所以按照边际成本递增的顺序对发电机组进行排序。 由图可知，系统所需的总负荷是：400?80?40?520 MW 所以，调度结果为：PA?0 MW PB?0 MW PC?120 MW
PD?400 MW 增加单位兆瓦负荷时最经济的手段是在C机组上增加出力，此时母线1、2、3上的节点价格都为机组C的边际成本价格，即：?1??2??3?10 美元/MWh
6-6解：按习题6-5的结果进行调度，
PA?0 MW PB?0 MW PC?120 MW PD?400 MW
应用叠加定理，有400MW的电能从母线3处注入系统，从母线 1处流出系统；有80MW的电能从母线3处注入，从母线2处流出系统。图形如下图：
121212400MWF80MW400MW80MW21FB1FA2F31FFA1FB322333480MW480MW80MW得 FA1?FB1?400 MW
?A0.5???F1??400?250MW?0.3?0.5
???FB1?0.30.3?0.5?400?150MWFAB2?F2?80 MW
????FA2?0.3?80?30MW?0.3?0.5
???FB2?0.50.3?0.5?80?50MWFA31?FA1?F2?250?30?280 MW F32?FB2?FB1?50?150?200 MW
FB21?F1?FA2?150?30?120 MW 母线1-3之间的线路的潮流数量280MW超过了其最大容量250MW，所以，线路1-3之间的安全约束会受到破坏，过负荷30MW. 6-7解：
在题6-5中解出线路1-3过负荷30MW，由于所有的负荷都是从母线3处
注入，要减少线路1-3上的潮流数量，有两种法案可行：①增加母线1处的发电出力 ②增加母线2处的发电出力 下面就两种方案分别进行讨论： ①
增加母线1处的发电出力
增加母线1处的发电出力，意味着减少母线3处的出力，画出微增再调度图：
121MW?FB?FA31MW
对单位MW的出力，?FA?0.5?1?0.625 MW
0.3?0.5?FB?0.3?0.5?1?0.375 MW
0.3由于?FA的方向与F31方向相反，在母线1处每增加单位MW的出力，线路1-3上潮流数量会相应减少0.625MW。 在母线1处新增的发电出力：
30?48 MW
0.625调度结果为： PA?0 MW PB?48 MW PC?120?48?72 MW（因为C的边际成本较D高，所以在PC上减） PD?400 MW 此调度结果的成本为：
C1?MCB?PB?MCC?PC?MCD?PD ?12?48?10?72?8?400?4640 美元
题6-5中经济调度的成本为：
C?MCC?PC?MCD?PD ?10?120?8?400 ?4400 美元
增加母线1处的发电出力48MW使成本增加了4640?4400?240 美元
调度图为：
121212352MWF2180MW352MWFB1FA80MW2FFA31F321FB2333432MW352MW80MWFA?B1F1?352 MW
???A0.5?F1??0.3?0.5?352?220MW ???FB1?0.30.3?0.5?352?132MWFAB2?F2?80 MW
????FA2?0.3?80??0.3?0.530MW
?0.5??FB2?0.3?0.5?80?50MWFAA31?F1?F2?220?30?250 MW FBB32?F2?F1?50?132?182 MW F?FB211?FA2?132?30?102 MW 增加母线1处的出力48MW各线路都满足安全约束。 ②增加母线2处的发电出力
增加母线2处的发电出力，意味着减少母线3处的出力，画出微增再调度图：
12?FB1MW?FA31MW
对单位MW的出力，?FA?0.50.3?0.5?1?0.625 MW ?FB?0.3?1?0.375 MW
0.3?0.5由于?FB的方向与F31方向相反，在母线2处每增加单位MW的出力，线路
1-3上潮流数量会相应减少0.625MW。 在母线1处新增的发电出力：
300.375?80 MW 调度结果为：
PA?80 MW PB?0 MW PC?120?80?40 MW（因为C的边
际成本较D高，所以在PC上减）PD?400 MW
此调度结果的成本为：
C2?MCA?PA?MCC?PC?MCD?PD ?12?80?10?40?8?400?4560 美元
增加母线2处的发电出力80MW使成本增加了4560?4400?160 美元 调度图为：
121212400MWF210MW400MWFB10F31FFA321333400MW400MW0FA1?FB1?400 MW
????FA0.51??0.3?0.5?400?250MW
???FB1?0.30.3?0.5?400?150MW母线2处的电量不注入系统
FA31?F1?250 MW F32?FB1?150 MW F21?FB1?150 MW
增加母线2处的出力80MW各线路都满足安全约束。
根据成本比较①②两种方案，可以看出方案②比较经济，所以，方案②更好一
些。
6-8解：由题意可知，本题根据调度结果：
PA?80 MW PB?0 MW PC?40 MW PD?400 MW
确定节点价格。
①母线3处的节点价格由发电机C决定，?3?10美元/KWh，发电机的边际
成本价格更多，但已经达到了发电极限，不会影响电价水平。
②母线2处的节点价格由发电机A决定，?2?12美元/KWh，
③母线1处的节点价格不应由发电机B决定，他的边际成本价格太高，而母线2、3侧的发电机A、C都还可以增加出力，且边际价格都低于发电机B的边际
价格。
因为按照上述调度结果，线路1-3上的潮流数量达到了最大，增加发电
机A、C的出力都需使线路1-3上潮流增量为零。 分别增加母线2和母线3处单位兆瓦发电量，图为：
121MWP23P1331MW
P13?0.50.3?0.5?1?58 MW P20.333?0.3?0.5?1?8 MW
121MWP221MWP123
P12?0.20.2?0.6?1?28 MW P20.662?0.2?0.6?1?8 MW
为了满足母线1上的符合增量，同时又不造成线路1-3过负荷，假设在母线2和母线3处增加的负荷分别为?P2和?P3，图为：
12?P1?1MW?P2?F31?03?P3
??P2??P3?1得 ??5?25 ? ???P2?3MW
??8?P2?8?P3?0?????P3??23MW所以
?5252401?3?2?3?3?3?12?3?10?3?13.33 美元/MWh 即为了满足母线1处的单位兆瓦的负荷增量，需要在发电机A处增加5/3MW的
出力，再发电机C处减少5/3MW的出力。 作系统经济运行表： 项目 母线1 母线2 母线3 全系统 电能消费量（MW） 400 80 40 520 电能生产量（MW） 0 80 440 520 节点价格（美元/MWh） 13.33 12 10 — 用户支出（美元/h） 5332 960 400 6692 生产者收入（美元/h） 0 960 4400 5360 商业剩余（美元/h） 5332 0 -4000 1332 商业剩余为1332美元/h，也等于各线路商业剩余之和。 6-9解：
根据6-5的结果：
?P?0MW?120MW?A?F21?
?PB?0MW ??F?280MW?PC?120MW?31??P?400MW?F32?200MWD在此基础上进行再调度，线路1-3过负荷，必须减少潮流数量，可以增加线路
1-2，最后再看线路2-3，
???F21?20MW ??F31??30MW调度图为：
121212?P?F21?P21?P1FB1FA?P22?F31FA1FB2333?P3?P3?P3其中?P1，?P2分别表示母线1、母线2处新增的发电量，?P3表母线3处减少的发电量。
???FA1?0.5??P1?5?P1?0.3?0.58 ?0.3??FB1?0.3?0.5??P?318?P1???FA0.332???P2??P2 ?0.3?0.58???FB2?0.550.3?0.5??P2?8?P2??FBA所以 ?21??F1?F2?20??FA?FA
?31??F12??30??P1??P2??P3P?10MW联立解得：?????P
2?63.33MW???P3?73.33MW此时
???F21?140MW ?F?250MW?31??F200?FB3532?1?FB2?200?8?P1?8?P2?157.67MW发电量为： PA??P2?0?63.33 MW PB??P1?0?10 MW
PC?PD?520??P3?447.67 MW 因为发电机D的边际价格最低，优先满足D发电，则：PD?400 MW PC?47.67 MW ?PA?63.33MW所以，最优调度为：???PB?10MW
?PC?47.67MW??PD?400MW母线1处的节点价格为：?1?15 美元/MWh
母线2处的节点价格为：?2?12 美元/MWh
母线3处的节点价格为：?3?10 美元/MWh
（也可以从题6-7中最优调度的基础上进行，得出解一样）
6-10解：6-11解：6-12解：6-13解：6-14解：6-15解：6-16解：6-17解：第七章 发电投资 7-1解： 根据题意：
① 总投资：400×1200×1000=480000000（美元） 每一年的纯利润：
7446×400=2978400（MWh）
2978400×9800×1.1×0.001=32107152（美元）
2978400×31=92330400（美元）
利润： 92330400-32107152=60223248（美元） 由此计算出的内部收益率（IRR）：12%
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