第三章 3.1 3.1.3
一、选择题
1.下列命题,不正确的有( D )
①a·a=|a|;②m(λa)·b=(mλ)a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a. A.4个 C.2个
B.3个 D.1个
解析 由向量数量积的性质可知只有④不正确.故选D.
2.(2018·江西南昌一模)已知向量a,b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c是直线l的一个方向向量,则c·a=0且c·b=0是l⊥α的( B )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当a与b不共线时,由c·a=0,c·b=0,可推出l⊥α;当a与b为共线向量时,由c·a=0,c·b=0,不能推出l⊥α.若l⊥α,则一定有c·a=0,c·b=0.故选B.
→→3.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,〈A′B,B′D′〉=( D ) A.30° C.90°
B.60° D.120°
解析 因为B′D′∥BD,所以A′B,B′D′的夹角即为A′B,BD的夹角.因为→→△A′BD为正三角形,所以∠A′BD=60°,由向量夹角的定义知〈A′B,BD〉=120°,即→→
〈A′B,B′D′〉=120°.
→→→→
4.(2018·湖北黄冈月考)A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB·AC=0,AC·AD→→=AB·AD=0,则△BCD是( B )
A.钝角三角形 C.直角三角形
→→→→→→
解析 ∵BC=AC-AB,BD=AD-AB, →→→→→→→→∴BC·BD=(AC-AB)·(AD-AB)=AB2=|AB|2>0. ∴∠DBC是锐角.同理可证∠DCB,∠BDC都是锐角. ∴△BCD是锐角三角形.
5.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( C )
A.30° C.60°
解析 ∵AC⊥b,BD⊥b,C,D∈b,
B.45° D.90° B.锐角三角形 D.不确定
→→→→→→→2∴AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=CD=1, →→
AB·CD11→→
∴cos〈AB,CD〉===.
→→2×12|AB||CD|
∴AB与CD所成的角为60°,即异面直线a,b所成的角为60°.
6.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为( C )
A.150° C.60°
→→解析 由条件,知CA·AB=0, →→→→→→AB·BD=0,CD=CA+AB+BD.
→→→→→→→→→→∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD →→
=62+42+82+2×6×8cos〈CA,BD〉=(217)2, 1→→→→
∴cos〈CA,BD〉=-,得〈CA,BD〉=120°,
2∴二面角的大小为60°,故选C. 二、填空题
7.(2018·黑龙江大庆调研)如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E是BC的中→→→→点,则AE·BC__>__AE·CD(填“<”“>”或“=”).
B.45° D.120°
1→→→→→→→→→→
解析 易知AE⊥BC,所以AE·BC=0.而AE·CD=(AB+BE)·CD=AB·(BD-BC)+
21→→→→→→→→→→→→
CD·BC=|AB||BD|·cos 120°-|AB|·|BC|cos 120°+|BC||CD|cos 120°<0,所以AE·BC >AE·CD.
2
8.(2018·河南月考)已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a-2b+3c|=__14__. 解析 因为a,b,c是两两垂直的单位向量,所以a2=1,b2=1,c2=1,a·b=a·c=b·c=0,故|a-2b+3c|=?a-2b+3c?2=a2+4b2+9c2-4a·b+6a·c-12b·c=14.
11
9.如图,已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的
444余弦值为____. 13
解析 因为四面体ABCD是正四面体,顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心,所以有BC⊥DA,AB⊥CD.设正四面体的棱长为4,
→→→→→→→→→→则BF·DE=(BC+CF)·(DA+AE)=0+BC·AE+CF·DA+0=4×1×cos 120°+1×4×cos 120°=-4,BF=DE=42+12-2×4×1×cos 60°=13,所以异面直线DE与BF的夹角θ→→
|BF·DE|4
的余弦值为cos θ==.
→→13|BF||DE|
三、解答题
→→→
10.如图所示,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA′=c,求:
→→→→(1)AC′·BD′,cos〈AC′,BD′〉; →→(2)BD′·AD.
→→解析 (1)AC′·BD′
→→→→→→=(AB+BC+OC′)·(BA+AA′+A′D′) →→→→→→=(AB+AD+AA′)·(-AB+AA′+AD)
=(a+b+c)·(-a+c+b)=-a2+b2+c2+2b·c=1. →→
易得|AC′|=3,|BD′|=3,
→→AC′·BD′11→→
则cos〈AC′,BD′〉===. →→3×33|AC′||BD′|
→→→→→→→→→→
(2)BD′·AD=(BA+AA′+A′D′)·AD=(-AB+AA′+AD)·AD=(-a+c+b)·b=-a·b+b·c+b2=1.
11.(2018·广东梅州调研)三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且→→→
BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c.
→
(1)试用a,b,c表示向量MN;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长. 解析 (1)由图形知,
→→→→MN=MA1+A1B1+B1N 1→→1→=BA1+AB+B1C1 3311
=(c-a)+a +(b-a) 33111=a+b+c. 333(2)由题设条件,
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c 11
=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,
225→1
∴|a+b+c|=5,|MN|=|a+b+c|=.
33
12.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,3AD=DC=3,AB=2,E是DC上一点,满足DE=1,连接AE,将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使得∠D1AB=60°,AC与BE的交点为O.
→→→→
(1)试用向量AB,AE,AD1表示向量OD1;
(2)求异面直线OD1与AE所成的角的余弦值;
(3)判断平面AD1E与平面ABCE是否垂直,并说明理由.
解析 (1)根据已知,可得四边形ABCE为平行四边形,所以O为BE的中点, →→→→1→→OD1=AD1-AO=AD1-(AB+AE)
2→1→1→=AD1-AB-AE.
22
→→?→1→1→?→(2)OD1·AE=?AD1-2AB-2AE?·AE
11=1×2cos 45°-×2×2×cos 45°-×(2)2=-1.
2236→1→1→→→
AD1-AB-AE?2=,∴|OD1|=, ∵OD12=?22??22
→→-1OD1·AE3→→∴cos〈OD1,AE〉===-,
3→→6|OD1|·|AE|×2
2所以OD1与AE所成的角的余弦值为
3. 3
→→1→(3)设AE的中点为M,则MD1=AD1-AE.
2→→→→1→→∵MD1·AB=AD1·AB-AE·AB
21
=1×2cos 60°-×2×2cos 45°=0,
2→→∴MD1⊥AB.
→→→→1→2∵MD1·AE=AD1·AE-AE
2
1→→=2cos 45°-×(2)2=0,∴MD1⊥AE.
2所以MD1垂直于平面ABCE内两条相交直线. ∴MD1⊥平面ABCE,而D1M? 平面AD1E, 所以平面AD1E⊥平面ABCE.
人教A版高中数学选修2-1作业:第3章 空间向量与立体几何3.1.3
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